На доске были написаны n первых натуральных чисел (1,2, … n). Вася стер одно число. Петя заметил, что...

Пусть исходно на доске было n чисел, а Вася стер число k. Тогда среднее арифметическое оставшихся чисел можно выразить как (1 + 2 + . + n - k) / (n - 1) = (n(n+1)/2 - k) / (n - 1). По условию задачи, это равно 45/4. Таким образом, у нас есть уравнение: (n(n+1)/2 - k) / (n - 1) = 45/4. Решив это уравнение, можно найти значение k, которое и является числом, стертым Васей.

Рассмотрим задачу более детально. На доске изначально были написаны все натуральные числа от 1 до ( n ). Обозначим сумму всех этих чисел через ( S ). Сумма первых ( n ) натуральных чисел вычисляется по формуле:

[ S = \frac{n(n + 1)}{2} ]

Вася стер одно число, обозначим его через ( x ). Тогда сумма оставшихся ( n - 1 ) чисел будет равна ( S - x ).

По условию задачи, среднее арифметическое оставшихся чисел стало равным ( \frac{45}{4} ). Среднее арифметическое вычисляется как сумма чисел, деленная на их количество, то есть:

[ \frac{S - x}{n - 1} = \frac{45}{4} ]

Подставим выражение для ( S ):

[ \frac{\frac{n(n + 1)}{2} - x}{n - 1} = \frac{45}{4} ]

Умножим обе стороны уравнения на ( 4(n - 1) ), чтобы избавиться от знаменателей:

[ 4 \left( \frac{n(n + 1)}{2} - x \right) = 45(n - 1) ]

Сократим ( 4 ) и ( 2 ):

[ 2n(n + 1) - 4x = 45(n - 1) ]

Раскроем скобки:

[ 2n^2 + 2n - 4x = 45n - 45 ]

Перенесем все, что связано с ( x ), в одну сторону, а остальное - в другую:

[ 2n^2 + 2n - 45n + 45 = 4x ]

Сгруппируем и упростим:

[ 2n^2 - 43n + 45 = 4x ]

Теперь выразим ( x ):

[ x = \frac{2n^2 - 43n + 45}{4} ]

Так как ( x ) должно быть натуральным числом (целым и положительным), выражение ( 2n^2 - 43n + 45 ) должно быть кратно 4. Рассмотрим несколько значений ( n ), чтобы найти такое, которое удовлетворяет этому условию.

Пусть ( n = 23 ):

[ x = \frac{2(23)^2 - 43(23) + 45}{4} = \frac{2 \cdot 529 - 989 + 45}{4} = \frac{1058 - 989 + 45}{4} = \frac{114}{4} = 28.5 ]

( x ) не целое, значит ( n = 23 ) не подходит.

Пусть ( n = 22 ):

[ x = \frac{2(22)^2 - 43(22) + 45}{4} = \frac{2 \cdot 484 - 946 + 45}{4} = \frac{968 - 946 + 45}{4} = \frac{67}{4} = 16.75 ]

( x ) не целое, значит ( n = 22 ) не подходит.

Пусть ( n = 21 ):

[ x = \frac{2(21)^2 - 43(21) + 45}{4} = \frac{2 \cdot 441 - 903 + 45}{4} = \frac{882 - 903 + 45}{4} = \frac{24}{4} = 6 ]

( x ) целое число, значит ( n = 21 ) подходит.

Таким образом, Вася стер число 6, когда изначально на доске были написаны числа от 1 до 21.