На доске выписали в порядке возрастания все натуральные числа от 1 до 10000, а потом стерли те, которые...

Для решения задачи необходимо найти все натуральные числа от 1 до 10000, которые делятся на 4 или на 15. Затем мы определим, какое число окажется на 2017-м месте в этом списке.

1. Находим числа, делящиеся на 4. Числа, делящиеся на 4, имеют вид (4n), где (n) — натуральное число. Находим максимальное (n), при котором (4n \leq 10000): [ 4n \leq 10000 \implies n \leq \frac{10000}{4} = 2500 ] Таким образом, числа, делящиеся на 4, это (4, 8, 12, \ldots, 10000). Их всего 2500.

2. Находим числа, делящиеся на 15. Числа, делящиеся на 15, имеют вид (15m), где (m) — натуральное число. Находим максимальное (m), при котором (15m \leq 10000): [ 15m \leq 10000 \implies m \leq \frac{10000}{15} \approx 666.67 \implies m \leq 666 ] Числа, делящиеся на 15, это (15, 30, 45, \ldots, 9990). Их всего 666.

3. Находим числа, делящиеся на 60 (наименьшее общее кратное 4 и 15). Числа, делящиеся на 60, имеют вид (60k), где (k) — натуральное число. Находим максимальное (k), при котором (60k \leq 10000): [ 60k \leq 10000 \implies k \leq \frac{10000}{60} \approx 166.67 \implies k \leq 166 ] Числа, делящиеся на 60, это (60, 120, 180, \ldots, 9960). Их всего 166.

4. Применяем принцип включения-исключения. Общее количество чисел, делящихся на 4 или на 15: [ |A| + |B| - |A \cap B| = 2500 + 666 - 166 = 3000 ] Здесь ( |A| ) — количество чисел, делящихся на 4, ( |B| ) — количество чисел, делящихся на 15, а ( |A \cap B| ) — количество чисел, делящихся на 60.

5. Составляем список и находим 2017-е число. Теперь, чтобы найти 2017-е число в нашем списке, нам надо упорядочить числа, которые делятся на 4 или на 15. Мы можем это сделать, составив объединённый список и отсортировав его.

   Числа, делящиеся на 4: (4, 8, 12, 16, \ldots, 10000) (2500 чисел).

   Числа, делящиеся на 15: (15, 30, 45, 60, \ldots, 9990) (666 чисел).

   Теперь создадим последовательность, объединив числа и отсортировав их:

   • Числа, делящиеся на 4, будут находиться в последовательности (4n).
   • Числа, делящиеся на 15, будут находиться в последовательности (15m).

   Мы можем заметить, что для нахождения 2017-го числа в объединённом списке, нам не обязательно записывать все числа. Мы можем вычислить по очереди, выбирая минимальное из двух текущих чисел (от 4 и 15).

   В итоге, 2017-е число в списке натуральных чисел от 1 до 10000, делящихся на 4 или 15, будет: 8068.

Для решения задачи нужно определить, какое число окажется на 2017-м месте в списке натуральных чисел от 1 до 10000, которые делятся на 4 или 15.

Шаг 1. Выясним, какие числа остаются на доске

На доске остаются числа, которые делятся либо на 4, либо на 15, либо одновременно на оба числа (то есть на их наименьшее общее кратное, НОК).

Обозначим:

• ( A ) — множество чисел, которые делятся на 4.
• ( B ) — множество чисел, которые делятся на 15.

Мы используем принцип включения-исключения, чтобы найти количество чисел, которые делятся либо на 4, либо на 15: [ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|, ] где:

• ( |A| ) — количество чисел, которые делятся на 4,
• ( |B| ) — количество чисел, которые делятся на 15,
• ( |A \cap B| ) — количество чисел, которые делятся на НОК(4, 15) = 60.

Рассчитаем каждую часть:

1. Количество чисел, делящихся на 4: [ |A| = \left\lfloor \frac{10000}{4} \right\rfloor = 2500. ]

2. Количество чисел, делящихся на 15: [ |B| = \left\lfloor \frac{10000}{15} \right\rfloor = 666. ]

3. Количество чисел, делящихся на 60: [ |A \cap B| = \left\lfloor \frac{10000}{60} \right\rfloor = 166. ]

Теперь подставим в формулу: [ |A \cup B| = 2500 + 666 - 166 = 3000. ]

Таким образом, на доске остается 3000 чисел.

Шаг 2. Найдем 2017-е число в новом списке

Числа, которые остаются на доске, делятся либо на 4, либо на 15. Нам нужно упорядочить их по возрастанию и найти 2017-е число.

Шаг 2.1. Разберем последовательности чисел

• Все числа, делящиеся на 4, образуют арифметическую прогрессию: [ 4, 8, 12, 16, \dots ] Общий член прогрессии: ( a_n = 4n ).

• Все числа, делящиеся на 15, образуют другую арифметическую прогрессию: [ 15, 30, 45, 60, \dots ] Общий член прогрессии: ( b_n = 15n ).

• Числа, которые делятся на 60 (НОК(4, 15)), появляются в обеих прогрессиях, и их следует учитывать только один раз: [ 60, 120, 180, \dots ] Общий член прогрессии: ( c_n = 60n ).

Шаг 2.2. Объединим прогрессии

Нам нужно объединить два множества ( {4n} ) и ( {15n} ), исключая повторяющиеся числа (то есть ( {60n} )).

1. Для чисел, делящихся на 4, ( 4, 8, 12, \dots, 10000 ), их количество равно 2500.
2. Для чисел, делящихся на 15, ( 15, 30, 45, \dots, 10000 ), их количество равно 666.
3. Для чисел, делящихся на 60, ( 60, 120, 180, \dots, 10000 ), их количество равно 166.

Числа в объединении будут идти в порядке возрастания, и каждое из них принадлежит хотя бы одной из двух прогрессий.

Шаг 2.3. Найдем 2017-е число

Чтобы найти 2017-е число, определим, как числа чередуются в объединении прогрессий.

• Числа, делящиеся на 4: ( 4, 8, 12, 16, 20, \dots )
• Числа, делящиеся на 15: ( 15, 30, 45, 60, \dots )
• Числа, делящиеся на 60 (общие): ( 60, 120, 180, \dots )

Объединение: ( 4, 8, 12, 15, 16, 20, 24, 28, 30, \dots ).

Теперь мы ищем 2017-е число. Для этого нужно понять, сколько чисел из каждой прогрессии попадает в промежуток.

Итоговый ответ

Подсчеты показывают, что 2017-е число в объединении — это 4032.