На одной чаше чувствительных равноплечих весов находится деревянный брусок,на другой- стальная гиря...

Для решения задачи учтём, что весы чувствительные, и поэтому необходимо учитывать выталкивающую силу Архимеда, действующую на тела, находящиеся в окружающем их воздухе.

Дано:

• Масса стальной гири: ( m_{\text{ст}} = 1 \, \text{кг} ),
• Плотность стали: ( \rho_{\text{ст}} = 7900 \, \text{кг/м}^3 ),
• Плотность дерева: ( \rho_{\text{дер}} = 880 \, \text{кг/м}^3 ),
• Плотность воздуха: ( \rho_{\text{возд}} = 1.2 \, \text{кг/м}^3 ).

Необходимо найти:

Массу деревянного бруска ( m_{\text{дер}} ), при которой на весах наблюдается равновесие.

Решение:

1. Объём стальной гири и её выталкивающая сила:

   Объём гири можно найти через её массу и плотность: [ V{\text{ст}} = \frac{m{\text{ст}}}{\rho_{\text{ст}}} = \frac{1}{7900} \approx 0.0001266 \, \text{м}^3. ]

   Выталкивающая сила, действующая на гирю со стороны воздуха, равна весу вытесненного воздуха: [ F{\text{Арх, ст}} = \rho{\text{возд}} \cdot V{\text{ст}} \cdot g, ] где ( g ) — ускорение свободного падения (оно сократится при равновесии весов, поэтому учитывать численное значение ( g ) необязательно). Подставим значение объёма гири: [ F{\text{Арх, ст}} = 1.2 \cdot 0.0001266 \cdot g \approx 0.0001519 \cdot g. ]

2. Объём деревянного бруска и его выталкивающая сила:

   Пусть масса деревянного бруска равна ( m{\text{дер}} ). Тогда его объём: [ V{\text{дер}} = \frac{m{\text{дер}}}{\rho{\text{дер}}}. ]

   Выталкивающая сила, действующая на брусок со стороны воздуха: [ F{\text{Арх, дер}} = \rho{\text{возд}} \cdot V{\text{дер}} \cdot g = \rho{\text{возд}} \cdot \frac{m{\text{дер}}}{\rho{\text{дер}}} \cdot g. ]

   Подставим плотность воздуха и дерева: [ F{\text{Арх, дер}} = 1.2 \cdot \frac{m{\text{дер}}}{880} \cdot g \approx 0.001364 \cdot m_{\text{дер}} \cdot g. ]

3. Условие равновесия:

   Для равновесия весов с учётом выталкивающей силы требуется, чтобы эффективные массы на обеих чашах были равны. Эффективная масса гири с учётом архимедовой силы: [ m{\text{эфф, ст}} = m{\text{ст}} - \frac{F_{\text{Арх, ст}}}{g}. ]

   Эффективная масса деревянного бруска: [ m{\text{эфф, дер}} = m{\text{дер}} - \frac{F_{\text{Арх, дер}}}{g}. ]

   Приравниваем эффективные массы: [ m{\text{ст}} - \frac{F{\text{Арх, ст}}}{g} = m{\text{дер}} - \frac{F{\text{Арх, дер}}}{g}. ]

   Подставим выражения для архимедовых сил: [ m{\text{ст}} - \rho{\text{возд}} \cdot V{\text{ст}} = m{\text{дер}} - \rho{\text{возд}} \cdot \frac{m{\text{дер}}}{\rho_{\text{дер}}}. ]

   Разделим на ( g ), чтобы упростить уравнение, и подставим ( V{\text{ст}} = \frac{m{\text{ст}}}{\rho{\text{ст}}} ): [ m{\text{ст}} - \rho{\text{возд}} \cdot \frac{m{\text{ст}}}{\rho{\text{ст}}} = m{\text{дер}} - \rho{\text{возд}} \cdot \frac{m{\text{дер}}}{\rho_{\text{дер}}}. ]

4. Подставим численные значения:

   Подставим значения плотностей и массы гири: [ 1 - 1.2 \cdot \frac{1}{7900} = m{\text{дер}} - 1.2 \cdot \frac{m{\text{дер}}}{880}. ]

   Упростим выражение: [ 1 - 0.0001519 \approx m{\text{дер}} - 0.001364 \cdot m{\text{дер}}. ]

   Сгруппируем члены с ( m{\text{дер}} ): [ 0.9998481 = m{\text{дер}} \cdot (1 - 0.001364). ]

   [ 0.9998481 = m_{\text{дер}} \cdot 0.998636. ]

   Выразим массу деревянного бруска: [ m_{\text{дер}} = \frac{0.9998481}{0.998636} \approx 1.0012 \, \text{кг}. ]

Ответ:

Масса деревянного бруска составляет примерно 1.0012 кг.

Для решения задачи необходимо учитывать, что на весах равновесие достигается, когда сила тяжести, действующая на деревянный брусок, равна весу стальной гири, а также учитывать архимедову силу, возникающую из-за вытесненного объемом бруска воздуха.

1. Сила тяжести стальной гири: Масса гири ( m{\text{гиря}} = 1 \, \text{кг} ). Сила тяжести ( F{\text{гиря}} ) определяется как: [ F{\text{гиря}} = m{\text{гиря}} \cdot g, ] где ( g ) — ускорение свободного падения (примерно ( 9.81 \, \text{м/с}^2 )). Таким образом, [ F_{\text{гиря}} = 1 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 = 9.81 \, \text{Н}. ]

2. Сила тяжести деревянного бруска: Обозначим массу бруска как ( m{\text{брусок}} ). Тогда сила тяжести, действующая на брусок, будет равна: [ F{\text{брусок}} = m_{\text{брусок}} \cdot g. ]

3. Архимедова сила: Архимедова сила ( F{\text{А}} ), действующая на брусок, равна весу вытесненного им воздуха. Она вычисляется по формуле: [ F{\text{А}} = V{\text{брусок}} \cdot \rho{\text{воздух}} \cdot g, ] где ( V{\text{брусок}} ) — объем бруска, ( \rho{\text{воздух}} = 1.2 \, \text{кг/м}^3 ).

4. Объем бруска: Масса бруска связана с его объемом и плотностью. Плотность дерева ( \rho{\text{дерево}} = 880 \, \text{кг/м}^3 ), следовательно, [ V{\text{брусок}} = \frac{m{\text{брусок}}}{\rho{\text{дерево}}}. ]

5. Подстановка объемов в архимедову силу: Подставим ( V{\text{брусок}} ) в формулу для архимедовой силы: [ F{\text{А}} = \frac{m{\text{брусок}}}{\rho{\text{дерево}}} \cdot \rho_{\text{воздух}} \cdot g. ]

6. Уравнение равновесия: В состоянии равновесия: [ F{\text{брусок}} = F{\text{гиря}} - F{\text{А}}. ] Подставляя значения, получаем: [ m{\text{брусок}} \cdot g = 9.81 \, \text{Н} - \frac{m{\text{брусок}}}{\rho{\text{дерево}}} \cdot \rho_{\text{воздух}} \cdot g. ]

7. Сокращение и упрощение: Разделим обе стороны на ( g ): [ m{\text{брусок}} = \frac{9.81}{g} - \frac{m{\text{брусок}} \cdot \rho{\text{воздух}}}{\rho{\text{дерево}}}. ]

   После упрощения и приведения подобного, получаем: [ m{\text{брусок}} \left( 1 + \frac{\rho{\text{воздух}}}{\rho_{\text{дерево}}} \right) = 1 \, \text{кг}. ]

8. Подстановка плотностей: [ m{\text{брусок}} \left( 1 + \frac{1.2}{880} \right) = 1, ] [ m{\text{брусок}} \left( 1 + 0.00136 \right) = 1, ] [ m_{\text{брусок}} \cdot 1.00136 = 1. ]

9. Находим массу бруска: [ m_{\text{брусок}} = \frac{1}{1.00136} \approx 0.99836 \, \text{кг}. ]

Таким образом, масса деревянного бруска примерно равна ( 0.998 \, \text{кг} ).