На окружности с центром О отмечены тоски А и В так,что угол АОВ =30 градусов. Длина меньшей дуги АВ...

Давайте разберём задачу по шагам.

1. Понимание окружности и дуг:

   • Окружность делится на две дуги точками ( A ) и ( B ). Дуги называются меньшей и большей в зависимости от их длины.

2. Дано:

   • Угол ( \angle AOB = 30^\circ ).
   • Длина меньшей дуги ( AB ) равна 54.

3. Общая длина окружности:

   • Полный угол в окружности составляет ( 360^\circ ).
   • Длина всей окружности пропорциональна полному углу в ( 360^\circ ).

4. Длина меньшей дуги:

   • Меньшая дуга ( AB ) соответствует центральному углу ( 30^\circ ).
   • Пропорция длин окружности и дуги связана с пропорцией углов. То есть, если ( 360^\circ ) соответствует всей окружности, то ( 30^\circ ) соответствует меньшей дуге.

5. Вычисление длины окружности:

   • Если ( 30^\circ ) соответствует длине дуги 54, то найдём длину всей окружности: [ \frac{30}{360} \times C = 54 ] где ( C ) — длина всей окружности.

6. Решение уравнения: [ \frac{1}{12} \times C = 54 ] [ C = 54 \times 12 = 648 ]

7. Длина большей дуги:

   • Большая дуга — это оставшаяся часть окружности.
   • Полная длина окружности ( C = 648 ).
   • Длина меньшей дуги ( AB = 54 ).
   • Следовательно, длина большей дуги будет: [ 648 - 54 = 594 ]

Таким образом, длина большей дуги равна 594.

Для решения данной задачи нужно воспользоваться формулой для вычисления длины дуги окружности: L = r * α, где L - длина дуги, r - радиус окружности, α - центральный угол в радианах.

Сначала найдем радиус окружности. Так как угол АОВ = 30 градусов, то угол на центральной окружности, образованный дугой АВ, равен 60 градусов. Таким образом, длина дуги АВ равна 54, а угол в радианах будет 60 * π / 180 = π / 3.

Теперь можем найти радиус окружности: r = L / α = 54 / (π / 3) = 54 * 3 / π = 162 / π.

Длина большей дуги (дуги с углом 120 градусов) будет равна: L = r α = (162 / π) (2π / 3) = 108.

Итак, длина большей дуги равна 108.