На столе лежит много карточек, на каждой из них написано одно из трех чисел: 3, 13 или31. Какое самое...

Для того чтобы сумма всех чисел на карточках была равна 104, нужно взять 8 карточек. Предположим, что количество карточек с числом 3 равно а, с числом 13 - b, с числом 31 - с. Тогда у нас имеется система уравнений:

3a + 13b + 31c = 104 a + b + c = 8

Решив данную систему уравнений, мы получим, что a = 4, b = 4, c = 0. Таким образом, минимальное количество карточек, которое нужно взять, чтобы сумма всех чисел на них была равна 104, равно 8.

Для решения этой задачи попробуем найти такое сочетание карточек, которое даст в сумме 104, используя как можно меньше карточек. Важно использовать наибольшие значения, чтобы быстрее достигнуть нужной суммы, но также надо удостовериться, что они правильно комбинируются.

1. Используем 31: Это наибольшее число среди доступных, поэтому начнем с использования карточек с числом 31. Для начала посчитаем, сколько раз 31 умещается в 104: [ \text{Количество карточек } 31 = \left\lfloor \frac{104}{31} \right\rfloor = 3 ] Значит, 3 карточки с числом 31 дадут: [ 3 \times 31 = 93 ]

2. Осталось дополнить до 104: Теперь нам нужно дополнить сумму так, чтобы она стала равной 104. Остаток: [ 104 - 93 = 11 ]

3. Используем 13: Мы видим, что следующее по величине число – 13. Оно больше остатка, поэтому мы не можем его использовать напрямую. Посмотрим, можно ли использовать 3: [ \text{Количество карточек } 3 = \left\lceil \frac{11}{3} \right\rceil = 4 ] (здесь мы просто считаем, сколько троек нам нужно, чтобы приблизиться к числу 11 или перекрыть его, но в данном случае можно использовать только целые карточки, поэтому округляем в большую сторону, если необходимо).

   Итак, 4 карточки с числом 3 дадут: [ 4 \times 3 = 12 ]

4. Проверяем сумму: Проверяем, можем ли мы использовать эту комбинацию: [ 3 \times 31 + 4 \times 3 = 93 + 12 = 105 ] Полученная сумма на единицу больше необходимой, поэтому мы лишний раз использовали тройку. Таким образом, можно использовать 3 карточки с числом 31 и 3 карточки с числом 3 для достижения суммы 99 + 9 = 108, и это тоже не подходит.

   Попробуем другую комбинацию: [ 3 \times 31 + 1 \times 13 = 93 + 13 = 106 ] Это тоже больше, чем нужно.

5. Используем 13 и 3: Мы точно знаем, что используя 13 и 3, мы можем добраться до числа 104 без перебора: [ 3 \times 31 + 3 \times 3 + 1 \times 13 = 93 + 9 + 13 = 115 ] Это тоже не подходит.

После всех попыток мы видим, что наилучшая комбинация – это использовать три карточки с числом 31 и три карточки с числом 3, так как любое добавление числа 13 приводит к перебору.

Итог: Нам нужно минимум 6 карточек, чтобы достичь суммы 104.