Найдите какую нибудь первообразную функцию f(x)=4x^3-x^2+2 которая принимает отрицательные значения...

Чтобы найти первообразную функцию для заданной функции ( f(x) = 4x^3 - x^2 + 2 ), нужно выполнить интегрирование. Первообразная функции ( f(x) ) обозначается как ( F(x) ).

Шаг 1: Интегрирование каждого члена функции

1. Интегрирование ( 4x^3 ): [ \int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 ]

2. Интегрирование ( -x^2 ): [ \int -x^2 \, dx = -\frac{x^3}{3} ]

3. Интегрирование постоянного члена 2: [ \int 2 \, dx = 2x ]

Шаг 2: Объединение всех частей

Сложив все части, получаем общую первообразную: [ F(x) = x^4 - \frac{x^3}{3} + 2x + C ] где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 3: Подбор постоянной ( C )

Нам нужно, чтобы ( F(x) ) принимала отрицательные значения при ( x = 1 ). Подставим ( x = 1 ) в ( F(x) ):

[ F(1) = 1^4 - \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1 + C = 1 - \frac{1}{3} + 2 + C ]

Упростим выражение: [ F(1) = 1 - \frac{1}{3} + 2 + C = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{6}{3} + C = \frac{8}{3} + C ]

Чтобы ( F(1) < 0 ), должно выполняться: [ \frac{8}{3} + C < 0 ]

Решая это неравенство относительно ( C ), получаем: [ C < -\frac{8}{3} ]

Заключение

Любое значение ( C ), меньшее чем (-\frac{8}{3}), сделает функцию ( F(x) ) отрицательной при ( x = 1 ). Например, если выбрать ( C = -3 ), то:

[ F(x) = x^4 - \frac{x^3}{3} + 2x - 3 ]

При ( x = 1 ): [ F(1) = \frac{8}{3} - 3 = \frac{8}{3} - \frac{9}{3} = -\frac{1}{3} ]

Таким образом, ( F(x) = x^4 - \frac{x^3}{3} + 2x - 3 ) является подходящей первообразной функцией, принимающей отрицательные значения при ( x = 1 ).

Построим график функции f(x)=4x^3-x^2+2 и найдем точку, где она принимает отрицательные значения при x=1.

Для того чтобы найти первообразную функцию f(x), которая принимает отрицательные значения при x=1, мы должны найти такую константу C, чтобы f(1) было отрицательным.

Подставим x=1 в данное уравнение: f(1) = 4*1^3 - 1^2 + 2 = 4 - 1 + 2 = 5

Так как f(1) равно 5, что положительное значение, нам нужно найти такую константу C, чтобы f(1) + C было отрицательным.

Пусть f(x) = 4x^3 - x^2 + 2 + C. Подставим x=1: f(1) = 4*1^3 - 1^2 + 2 + C = 5 + C

Чтобы f(1) + C было отрицательным, нужно выбрать C так, чтобы 5 + C < 0. То есть C < -5.

Таким образом, первообразная функция f(x) = 4x^3 - x^2 + 2 - 6 будет принимать отрицательные значения при x=1.