Найдите наименьшее значение функции y=37tgx - 37x + 19 на отрезке [0; п/4] Можно пожалуйста с полным...

Чтобы найти наименьшее значение функции ( y = 37 \tan x - 37x + 19 ) на отрезке ([0, \frac{\pi}{4}]), следует выполнить несколько шагов, включая нахождение критических точек и оценку значений функции на границах отрезка. Давайте рассмотрим этот процесс подробно.

Шаг 1: Найдите производную функции

Функция, которую мы исследуем, это: [ y = 37 \tan x - 37x + 19. ]

Найдём её производную: [ y' = 37 \sec^2 x - 37, ] где (\sec x = \frac{1}{\cos x}), поэтому (\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}).

Шаг 2: Найдите критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена. Рассмотрим уравнение: [ 37 \sec^2 x - 37 = 0. ]

Упростим его: [ \sec^2 x = 1. ]

Это происходит, когда (\cos^2 x = 1), то есть (\cos x = \pm 1). На отрезке ([0, \frac{\pi}{4}]) косинус равен 1 только в точке (x = 0).

Шаг 3: Оцените значения функции

Теперь, когда мы знаем, что единственная критическая точка на отрезке это (x = 0), нам нужно оценить значения функции в этой точке и на границах отрезка.

• В точке (x = 0): [ y(0) = 37 \tan 0 - 37 \times 0 + 19 = 19. ]

• В точке (x = \frac{\pi}{4}): [ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 37 \tan \frac{\pi}{4} - 37 \times \frac{\pi}{4} + 19. ] Поскольку (\tan \frac{\pi}{4} = 1), это упрощается до: [ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 37 \times 1 - 37 \times \frac{\pi}{4} + 19 = 37 - \frac{37\pi}{4} + 19. ]

Вычислим численно: [ y\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 37 - \frac{37 \times 3.1416}{4} + 19 \approx 37 - 29.0085 + 19 \approx 26.9915. ]

Шаг 4: Сравните значения

Теперь сравним значения функции в найденных точках:

• (y(0) = 19),
• (y\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 26.9915).

Наименьшее значение на отрезке ([0, \frac{\pi}{4}]) достигается в точке (x = 0), и это значение равно 19.

Ответ

Наименьшее значение функции на отрезке ([0, \frac{\pi}{4}]) равно 19.

Для нахождения наименьшего значения функции y=37tgx - 37x + 19 на отрезке [0; п/4] необходимо найти производную этой функции и приравнять ее к нулю, чтобы найти точку экстремума.

y=37tgx - 37x + 19

y' = 37(sec^2(x)) - 37

Приравниваем производную к нулю:

37(sec^2(x)) - 37 = 0 sec^2(x) - 1 = 0 sec^2(x) = 1 cos^2(x) = 1 cos(x) = ±1 x = 0, п/2

Так как x находится в пределах отрезка [0; п/4], то x = 0.

Для нахождения наименьшего значения функции в найденной точке подставим x = 0 обратно в исходную функцию:

y(0) = 37tg(0) - 37*0 + 19 y(0) = 0 + 0 + 19 y(0) = 19

Таким образом, наименьшее значение функции y=37tgx - 37x + 19 на отрезке [0; п/4] равно 19.