Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^3 y=0 x=-2 x=2

Для того чтобы найти площадь фигуры ограниченной линиями y = x^3, y = 0, x = -2 и x = 2, необходимо вычислить определенный интеграл от x = -2 до x = 2 функции y = x^3. Поскольку данная функция всегда положительна в заданном интервале, то площадь фигуры будет равна модулю этого интеграла.

Итак, интеграл будет равен: ∫[from -2 to 2] x^3 dx = [x^4 / 4] [from -2 to 2] = (2^4 / 4) - (-2^4 / 4) = 16 / 4 + 16 / 4 = 4 + 4 = 8

Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями y = x^3, y = 0, x = -2 и x = 2 равна 8 квадратным единицам.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями (y = x^3), (y = 0), (x = -2) и (x = 2), необходимо воспользоваться интегрированием. Давайте разложим это на несколько шагов.

1. Определение границ интегрирования

Границы интегрирования по оси (x) заданы как (x = -2) и (x = 2). Поскольку (y = 0) — это ось (x), а (y = x^3) — функция, график которой мы будем интегрировать, то наша задача сводится к нахождению площади между кривой (y = x^3) и осью (x).

2. Задача интегрирования

Площадь (A) под кривой (y = x^3) от (x = -2) до (x = 2) можно найти с помощью определённого интеграла:

[ A = \int_{-2}^{2} |x^3| \, dx ]

Однако, так как (x^3) является нечётной функцией (то есть (x^3 = -(-x)^3)), и мы интегрируем симметрично относительно начала координат, то интеграл от (-2) до (2) будет равен нулю. Чтобы найти площадь, нам нужно взять абсолютное значение функции (x^3), что эквивалентно удвоению интеграла от (0) до (2):

[ A = 2 \int_{0}^{2} x^3 \, dx ]

3. Вычисление интеграла

Теперь вычислим интеграл:

[ \int_{0}^{2} x^3 \, dx ]

Для этого воспользуемся стандартной формулой интегрирования ( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ):

[ \int{0}^{2} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]{0}^{2} ]

Подставляем значения границ интегрирования:

[ \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} - 0 = 4 ]

4. Учёт симметрии

Так как мы рассматриваем симметричную область относительно оси (y), то удваиваем полученное значение:

[ A = 2 \cdot 4 = 8 ]

Ответ

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями (y = x^3), (y = 0), (x = -2) и (x = 2), составляет 8 квадратных единиц.