Найдите при каких значениях переменной а уравнение |х^2-2х-3|=а имеет три различных корня. Подробно(полностью,...

Уравнение |x^2 - 2x - 3| = a имеет три различных корня тогда, когда дискриминант выражения x^2 - 2x - 3 больше нуля.

Дискриминант равен D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -2, c = -3. Подставляя значения, получаем D = (-2)^2 - 41(-3) = 4 + 12 = 16.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня, а также третий корень при условии, что а > 0.

Итак, при а > 0 уравнение |x^2 - 2x - 3| = a имеет три различных корня.

Для решения уравнения (|x^2 - 2x - 3| = a) и нахождения значений параметра (a), при которых оно имеет три различных корня, необходимо рассмотреть две ситуации: когда подмодульное выражение положительно и когда оно отрицательно.

Шаг 1: Найдите корни квадратного уравнения

Рассмотрим сначала подмодульное выражение (x^2 - 2x - 3). Найдём его корни, решив уравнение: [ x^2 - 2x - 3 = 0. ]

Используя дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16. ]

Корни: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{2}. ]

Таким образом, корни: [ x_1 = 3, \quad x_2 = -1. ]

Эти корни разбивают числовую ось на три промежутка: ((-∞, -1)), ((-1, 3)), и ((3, ∞)).

Шаг 2: Исследуйте знак подмодульного выражения

1. На интервале ((-∞, -1)):

   • Выбираем тестовую точку, например, (x = -2). [ (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0. ] Здесь (x^2 - 2x - 3 > 0).

2. На интервале ((-1, 3)):

   • Выбираем тестовую точку, например, (x = 0). [ 0^2 - 2(0) - 3 = -3 < 0. ] Здесь (x^2 - 2x - 3 < 0).

3. На интервале ((3, ∞)):

   • Выбираем тестовую точку, например, (x = 4). [ 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0. ] Здесь (x^2 - 2x - 3 > 0).

Шаг 3: Решите модульное уравнение на каждом интервале

Интервал ((-∞, -1)) и ((3, ∞))

Для этих интервалов: [ |x^2 - 2x - 3| = x^2 - 2x - 3 = a. ]

Решаем уравнение: [ x^2 - 2x - 3 = a. ] [ x^2 - 2x - (3 + a) = 0. ]

Дискриминант: [ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(3 + a)) = 4 + 4(3 + a) = 16 + 4a. ]

Для наличия действительных корней необходимо (D \geq 0): [ 16 + 4a \geq 0. ] [ 4a \geq -16. ] [ a \geq -4. ]

Интервал ((-1, 3))

Для этого интервала: [ |x^2 - 2x - 3| = -(x^2 - 2x - 3) = a. ]

Решаем уравнение: [ -(x^2 - 2x - 3) = a ] [ x^2 - 2x + (3 - a) = 0. ]

Дискриминант: [ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - a) = 4 - 4(3 - a) = 4 - 12 + 4a = 4a - 8. ]

Для наличия действительных корней необходимо (D \geq 0): [ 4a - 8 \geq 0. ] [ 4a \geq 8. ] [ a \geq 2. ]

Шаг 4: Условия для трёх различных корней

1. Для (a = 3):
   • На интервале ((-1, 3)) уравнение имеет два одинаковых корня (вершина параболы).
   • На интервале ((3, ∞)) уравнение имеет один корень.
   • Таким образом, в этом случае мы имеем три различных корня.

Итак, уравнение (|x^2 - 2x - 3| = a) имеет три различных корня при (a = 3).

Для того чтобы уравнение |x^2 - 2x - 3| = a имело три различных корня, необходимо, чтобы выражение внутри модуля имело два корня, а модуль сам по себе также имел один корень.

Найдем корни уравнения x^2 - 2x - 3 = 0 сначала. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где у нас a = 1, b = -2, c = -3.

D = (-2)^2 - 41(-3) = 4 + 12 = 16

Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет два действительных корня x1 и x2, которые находятся по формуле x1,2 = (-b ± √D) / 2a:

x1,2 = (2 ± 4) / 2 = {3, -1}

Теперь найдем корень уравнения |x^2 - 2x - 3| = a, где a = 0:

x^2 - 2x - 3 = 0

Решив это уравнение, получаем корни x1,2 = {3, -1}, но так как модуль всегда неотрицателен, то корень будет только один: x = 3.

Таким образом, чтобы уравнение |x^2 - 2x - 3| = a имело три различных корня, значение переменной a должно быть равно 0.