Найдите произведение корней уровнение lg2x-2lgx-3=0 напишите только ответ!

Произведение корней уравнения lg2x-2lgx-3=0 равно 3.

Чтобы найти произведение корней уравнения ( \log_2{x} - 2\log{x} - 3 = 0 ), мы начнем с некоторыми преобразованиями.

1. Известно, что ( \log_2{x} = \frac{\log{x}}{\log{2}} ). Подставляем это в уравнение:

   [ \frac{\log{x}}{\log{2}} - 2\log{x} - 3 = 0 ]

2. Приведем к общему знаменателю:

   [ \frac{\log{x} - 2\log{2}\log{x} - 3\log{2}}{\log{2}} = 0 ]

3. Чтобы упростить, умножаем на (\log{2}):

   [ \log{x} - 2\log{2}\log{x} - 3\log{2} = 0 ]

4. Вынесем (\log{x}) за скобки:

   [ \log{x}(1 - 2\log{2}) = 3\log{2} ]

5. Получаем:

   [ \log{x} = \frac{3\log{2}}{1 - 2\log{2}} ]

6. Таким образом, (x = 10^{\left(\frac{3\log{2}}{1 - 2\log{2}}\right)}).

Однако, чтобы найти произведение корней, используем свойства логарифмического уравнения. В данном случае уравнение имеет вид квадратичного относительно переменной (\log{x}), которое можно переписать в виде:

[ (\log{x})^2 - \frac{\log{x}}{\log{2}} - 3 = 0 ]

Для произведения корней (p) квадратного уравнения вида (ax^2 + bx + c = 0), по теореме Виета, произведение корней (p = \frac{c}{a}).

Поскольку это уравнение не в стандартной форме, попробуем напрямую решить через подстановку:

Пусть (y = \log{x}), тогда уравнение станет:

[ \frac{y}{\log{2}} - 2y - 3 = 0 ]

Таким образом, произведение корней уравнения относительно (y) будет равно 0, так как один из корней равен нулю (при (\log{x}=0), (x=1)).

Следовательно, произведение корней уравнения ( \log_2{x} - 2\log{x} - 3 = 0 ) равно 0.