Найдите производную функции f (x) =  ln sqrt cosx.

Для нахождения производной функции f(x) = ln(sqrt(cos(x)) воспользуемся правилами дифференцирования сложной функции.

Сначала выразим функцию f(x) в более простом виде: f(x) = ln(sqrt(cos(x)) = ln((cos(x))^(1/2)) = (1/2)ln(cos(x))

Теперь продифференцируем полученное выражение: f'(x) = (1/2) * (-sin(x)/cos(x)) = -sin(x)/(2cos(x)) = -tan(x)/2

Таким образом, производная функции f(x) = ln(sqrt(cos(x)) равна -tan(x)/2.

Давайте найдем производную функции ( f(x) = \ln(\sqrt{\cos(x)}) ).

Во-первых, упростим выражение внутри логарифма. Напомним, что (\sqrt{\cos(x)} = (\cos(x))^{1/2}). Тогда функция ( f(x) ) может быть записана как: [ f(x) = \ln((\cos(x))^{1/2}) ]

Используем свойство логарифмов, которое позволяет вынести показатель степени перед логарифмом: [ \ln((\cos(x))^{1/2}) = \frac{1}{2} \ln(\cos(x)) ]

Теперь у нас есть более простая функция: [ f(x) = \frac{1}{2} \ln(\cos(x)) ]

Теперь найдем производную этой функции. Применим правило дифференцирования для произведения константы и функции: [ \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2} \ln(\cos(x)) \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}\left( \ln(\cos(x)) \right) ]

Для нахождения производной (\ln(\cos(x))) используем правило цепочки. Вспомним, что производная (\ln(u)) равна (\frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}), где (u = \cos(x)). Тогда: [ \frac{d}{dx}\left( \ln(\cos(x)) \right) = \frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{d}{dx}(\cos(x)) ]

Теперь найдем производную (\cos(x)). Известно, что: [ \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x) ]

Подставим это в наше выражение: [ \frac{d}{dx}\left( \ln(\cos(x)) \right) = \frac{1}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} ]

Теперь учтем, что (\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)), поэтому: [ \frac{d}{dx}\left( \ln(\cos(x)) \right) = -\tan(x) ]

Возвращаемся к исходной задаче: [ \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2} \ln(\cos(x)) \right) = \frac{1}{2} \cdot (-\tan(x)) = -\frac{1}{2} \tan(x) ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = \ln(\sqrt{\cos(x)}) ) равна: [ f'(x) = -\frac{1}{2} \tan(x) ]