Найдите производную функции ( x^3+1)/(x^2+1)

Для нахождения производной функции ( f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1} ) мы будем использовать правило дроби, которое гласит, что если ( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} ), то производная ( f'(x) ) вычисляется по формуле:

[ f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2} ]

В нашем случае:

• ( g(x) = x^3 + 1 )
• ( h(x) = x^2 + 1 )

Теперь найдем производные ( g'(x) ) и ( h'(x) ):

1. Производная ( g(x) ): [ g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = 3x^2 ]

2. Производная ( h(x) ): [ h'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x ]

Теперь подставим все в формулу для производной дробной функции:

[ f'(x) = \frac{(3x^2)(x^2 + 1) - (x^3 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} ]

Теперь упростим числитель:

1. Раскроем скобки: [ (3x^2)(x^2 + 1) = 3x^4 + 3x^2 ] [ (x^3 + 1)(2x) = 2x^4 + 2x ]

2. Подставим обратно в числитель: [ f'(x) = \frac{3x^4 + 3x^2 - (2x^4 + 2x)}{(x^2 + 1)^2} ]

3. Упростим числитель: [ 3x^4 + 3x^2 - 2x^4 - 2x = (3x^4 - 2x^4) + 3x^2 - 2x = x^4 + 3x^2 - 2x ]

Таким образом, мы получаем:

[ f'(x) = \frac{x^4 + 3x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2} ]

Это и есть производная функции ( f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1} ).

Для нахождения производной функции ((x^3 + 1) / (x^2 + 1)) необходимо использовать правило дифференцирования частного, также известное как формула Лейбница для производной дроби. Формула для производной дроби следующая:

[ \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}, ]

где (u(x)) — числитель дроби, (v(x)) — знаменатель дроби, (u'(x)) и (v'(x)) — их производные соответственно.

1. Заданные функции

В данном случае: [ u(x) = x^3 + 1, \quad v(x) = x^2 + 1. ]

2. Найдём производные (u'(x)) и (v'(x))

Производная (u'(x)) от (u(x) = x^3 + 1): [ u'(x) = 3x^2. ]

Производная (v'(x)) от (v(x) = x^2 + 1): [ v'(x) = 2x. ]

3. Применим правило для производной дроби

Подставляем в формулу: [ \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}. ]

Подставляем (u(x)), (u'(x)), (v(x)), (v'(x)): [ \left( \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1} \right)' = \frac{(3x^2)(x^2 + 1) - (x^3 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}. ]

4. Упростим числитель

Распишем числитель: [ (3x^2)(x^2 + 1) - (x^3 + 1)(2x). ]

Раскроем скобки: [ (3x^2)(x^2) + (3x^2)(1) - (2x)(x^3) - (2x)(1). ]

Получим: [ 3x^4 + 3x^2 - 2x^4 - 2x. ]

Теперь приведём подобные: [ (3x^4 - 2x^4) + 3x^2 - 2x = x^4 + 3x^2 - 2x. ]

Таким образом, числитель становится: [ x^4 + 3x^2 - 2x. ]

5. Полный результат

Подставляем числитель обратно в формулу для производной: [ \left( \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1} \right)' = \frac{x^4 + 3x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2}. ]

Это и есть производная функции.

6. Итог

Производная функции ((x^3 + 1) / (x^2 + 1)): [ \frac{x^4 + 3x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2}. ]

Если требуется, производную можно также исследовать дальше (например, найти точки экстремума или исследовать поведение функции), но это уже зависит от конкретной задачи.

Чтобы найти производную функции ( y = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1} ), используем правило дифференцирования частного:

[ y' = \frac{(u'v - uv')}{v^2} ]

где ( u = x^3 + 1 ), ( v = x^2 + 1 ), ( u' = 3x^2 ), и ( v' = 2x ).

Теперь подставим все в формулу:

[ y' = \frac{(3x^2)(x^2 + 1) - (x^3 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} ]

Упростим числитель:

[ y' = \frac{3x^4 + 3x^2 - 2x^4 - 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^4 + 3x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2} ]

Таким образом, производная функции равна:

[ y' = \frac{x^4 + 3x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2} ]