Найдите точку минимума функции у=х^3-192х+14

Чтобы найти точку минимума функции ( y = x^3 - 192x + 14 ), необходимо следовать стандартной процедуре нахождения экстремумов:

1. Найти производную функции:
   Чтобы определить критические точки, сначала нужно найти первую производную функции ( y ) по переменной ( x ): [ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 192x + 14) = 3x^2 - 192. ]

2. Найти критические точки:
   Критические точки находятся путем решения уравнения ( y' = 0 ): [ 3x^2 - 192 = 0. ] Разделим обе стороны на 3: [ x^2 = 64. ] Решая это уравнение, получаем: [ x = \pm 8. ] Таким образом, критические точки — это ( x = 8 ) и ( x = -8 ).

3. Исследовать вторую производную для определения характера критических точек:
   Для определения характера критических точек (минимум или максимум), найдем вторую производную: [ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^3 - 192x + 14) = 6x. ]

   Подставим значения критических точек в ( y'' ):

   • Для ( x = 8 ): [ y''(8) = 6 \times 8 = 48 > 0. ] Поскольку вторая производная положительна, точка ( x = 8 ) является точкой минимума.

   • Для ( x = -8 ): [ y''(-8) = 6 \times (-8) = -48 < 0. ] Поскольку вторая производная отрицательна, точка ( x = -8 ) является точкой максимума.

4. Найти значение функции в точке минимума:
   Подставим ( x = 8 ) в исходную функцию, чтобы найти значение функции в точке минимума: [ y(8) = 8^3 - 192 \times 8 + 14. ] Вычислим: [ 8^3 = 512, \quad 192 \times 8 = 1536. ] [ y(8) = 512 - 1536 + 14 = -1010. ]

Таким образом, точка минимума функции ( y = x^3 - 192x + 14 ) — это ( x = 8 ), а значение функции в этой точке равно ( y = -1010 ).

Для того чтобы найти точку минимума функции у=х^3-192х+14, необходимо найти производную этой функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение. Производная функции у=х^3-192х+14 равна у'=3х^2-192. Теперь приравняем у' к нулю и решим уравнение: 3х^2-192=0. Решая это уравнение, получаем два значения x1=8 и x2=-8. Чтобы понять, какая из этих точек является точкой минимума функции, можно взять вторую производную функции и подставить найденные значения х. Если у''(8)>0, то это точка минимума, если у''(-8)>0, то это точка минимума. Рассчитаем вторую производную: у''=6x. Подставляем найденные значения х: у''(8)=48>0 и у''(-8)=-48