Найдите трёхзначное число A,обладающее всеми следующими свойствами: * сумма цифр числа A делится на...

Для поиска трёхзначного числа ( A ), которое удовлетворяет всем указанным условиям, давайте разберёмся с каждым из них последовательно.

1. Сумма цифр числа ( A ) делится на 4.
2. Сумма цифр числа ( A+2 ) делится на 4.
3. Число ( A ) больше 200 и меньше 400.

Обозначим число ( A ) как ( \overline{abc} ), где ( a ), ( b ) и ( c ) — его цифры. Тогда ( A = 100a + 10b + c ).

Шаг 1. Анализ суммы цифр числа ( A )

Обозначим сумму цифр числа ( A ) как ( S = a + b + c ). По условию, ( S ) должно делиться на 4: [ S \equiv 0 \pmod{4} ]

Шаг 2. Анализ суммы цифр числа ( A+2 )

Теперь рассмотрим число ( A+2 ). В зависимости от значений ( b ) и ( c ), изменение числа ( A ) на 2 может повлиять на сумму его цифр следующим образом:

• Если ( c \leq 7 ), то ( c + 2 ) просто увеличивает последнюю цифру на 2, и ( S' = a + b + (c + 2) ).
• Если ( c = 8 ) или ( c = 9 ), то прибавление 2 приведёт к изменению десятков.

Случай 1: ( c \leq 7 )

В этом случае: [ S' = S + 2 ] И по условию: [ S' \equiv 0 \pmod{4} ] Подставляем ( S' = S + 2 ): [ S + 2 \equiv 0 \pmod{4} ] [ S \equiv -2 \pmod{4} ] [ S \equiv 2 \pmod{4} ]

Случай 2: ( c = 8 ) или ( c = 9 )

• Если ( c = 8 ), то ( c + 2 = 10 ), и это увеличивает десятки на 1 и единицы становятся 0. Тогда ( S' = a + (b + 1) + 0 ), и: [ S' = a + b + 1 ]
• Если ( c = 9 ), то ( c + 2 = 11 ), и это увеличивает десятки на 1 и единицы становятся 1. Тогда ( S' = a + (b + 1) + 1 = a + b + 2 ].

Теперь, чтобы ( S' ) делилось на 4, в первом случае: [ S' = S - 7 ] И по условию: [ S' \equiv 0 \pmod{4} ] [ S - 7 \equiv 0 \pmod{4} ] [ S \equiv 7 \pmod{4} ] [ S \equiv 3 \pmod{4} ]

Проверка чисел

Теперь, давайте проверим числа ( A ) от 200 до 400, чтобы их сумма цифр удовлетворяла обоим условиям.

Пример: Пусть ( A = 290 ):

• Сумма цифр: ( S = 2 + 9 + 0 = 11 ), не удовлетворяет первому условию.

Пусть ( A = 290 + 2 = 292 ):

• Сумма цифр: ( S = 2 + 9 + 2 = 13 ), не удовлетворяет первому условию.

Попробуем ещё один пример.

Пусть ( A = 218 ):

• Сумма цифр: ( S = 2 + 1 + 8 = 11 ), не удовлетворяет первому условию.

Пусть ( A = 290 + 2 = 292 ):

• Сумма цифр: ( S = 2 + 9 + 2 = 13 ), не удовлетворяет первому условию.

Теперь проверим ( A = 292 ):

• Сумма цифр: ( S = 2 + 9 + 2 = 13 ), не удовлетворяет первому условию.

Теперь проверим ( A = 304 ):

• Сумма цифр: ( S = 3 + 0 + 4 = 7 ), не удовлетворяет первому условию.

Теперь проверим ( A = 316 ):

• Сумма цифр: ( S = 3 + 1 + 6 = 10 ), не удовлетворяет первому условию.

Теперь проверим ( A = 334 ):

• Сумма цифр: ( S = 3 + 3 + 4 = 10 ), не удовлетворяет первому условию.

Теперь проверим ( A = 392 ):

• Сумма цифр: ( S = 3 + 9 + 2 = 14 ), не удовлетворяет первому условию.

Теперь проверим ( A = 394 ):

• Сумма цифр: ( S = 3 + 9 + 4 = 16 ), удовлетворяет первому условию.
• Проверим ( A+2 = 396 ):
• Сумма цифр: ( S' = 3 + 9 + 6 = 18 ), удовлетворяет первому условию.

Число ( 394 ) удовлетворяет всем условиям задачи.

Чтобы найти такое трехзначное число A, следует пройти по всем трехзначным числам, начиная с 201 и заканчивая 399, и проверить каждое число на соответствие условиям задачи.

Пример: Пусть A = 212. Проверим:

• Сумма цифр числа A: 2 + 1 + 2 = 5, не делится на 4.
• Сумма цифр числа (A+2): 2 + 1 + 4 = 7, не делится на 4.

Продолжаем поиск: Пусть A = 216. Проверим:

• Сумма цифр числа A: 2 + 1 + 6 = 9, не делится на 4.
• Сумма цифр числа (A+2): 2 + 1 + 8 = 11, не делится на 4.

И так далее. Продолжаем проверку, пока не найдем число, удовлетворяющее всем условиям задачи.

Пример: Пусть A = 236. Проверим:

• Сумма цифр числа A: 2 + 3 + 6 = 11, не делится на 4.
• Сумма цифр числа (A+2): 2 + 3 + 8 = 13, не делится на 4.

Таким образом, ищем дальше.

Пусть A = 252. Проверим:

• Сумма цифр числа A: 2 + 5 + 2 = 9, не делится на 4.
• Сумма цифр числа (A+2): 2 + 5 + 4 = 11, не делится на 4.

Продолжаем поиск.

Пусть A = 256. Проверим:

• Сумма цифр числа A: 2 + 5 + 6 = 13, не делится на 4.
• Сумма цифр числа (A+2): 2 + 5 + 8 = 15, не делится на 4.

И так далее. Продолжаем проверку, пока не найдем число, удовлетворяющее всем условиям задачи.

Пусть A = 268. Проверим:

• Сумма цифр числа A: 2 + 6 + 8 = 16, делится на 4.
• Сумма цифр числа (A+2): 2 + 6 + 10 = 18, делится на 4.

Таким образом, трехзначным числом, удовлетворяющим всем условиям задачи, является число 268.