Найти интервалы возрастания и убывания функции: y=x4 - 2x2

Интервалы возрастания: (-∞, -1) и (1, +∞) Интервалы убывания: (-1, 1)

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции y=x^4 - 2x^2 необходимо найти производную этой функции и определить ее знаки.

1. Найдем производную функции y=x^4 - 2x^2: y' = 4x^3 - 4x

2. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 4x^3 - 4x = 0 4x(x^2 - 1) = 0 x = 0, x = -1, x = 1

3. Теперь составим таблицу знаков производной: x < -1: y' < 0 (убывание) -1 < x < 0: y' > 0 (возрастание) 0 < x < 1: y' < 0 (убывание) x > 1: y' > 0 (возрастание)

Таким образом, интервалы возрастания функции y=x^4 - 2x^2: (-1, 0) и (1, +∞), интервалы убывания: (-∞, -1) и (0, 1).

Для того чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции ( y = x^4 - 2x^2 ), необходимо выполнить несколько шагов, связанных с анализом первой производной функции. Рассмотрим эти шаги по порядку.

1. Найдем первую производную функции: [ y = x^4 - 2x^2 ] Для этого применим правила дифференцирования: [ y' = \frac{d}{dx}(x^4) - \frac{d}{dx}(2x^2) ] [ y' = 4x^3 - 4x ]

2. Найдем критические точки: Критические точки находятся путем нахождения значений ( x ), при которых первая производная равна нулю или не существует. В данном случае уравнение первой производной равно нулю: [ 4x^3 - 4x = 0 ] Вынесем общий множитель за скобку: [ 4x(x^2 - 1) = 0 ] Разложим ( x^2 - 1 ) на множители: [ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 ] Таким образом, критические точки: [ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 ]

3. Определим знаки первой производной на интервалах между критическими точками: Нам нужно проверить знаки первой производной на интервалах, разделенных критическими точками: ((-\infty, -1)), ((-1, 0)), ((0, 1)), ((1, +\infty)).

   • Для интервала ((-\infty, -1)): [ Возьмем тестовую точку x = -2: \quad y'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 \quad (отрицательный знак) ]

   • Для интервала ((-1, 0)): [ Возьмем тестовую точку x = -0.5: \quad y'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 \quad (положительный знак) ]

   • Для интервала ((0, 1)): [ Возьмем тестовую точку x = 0.5: \quad y'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 \quad (отрицательный знак) ]

   • Для интервала ((1, +\infty)): [ Возьмем тестовую точку x = 2: \quad y'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 \quad (положительный знак) ]

4. Определим интервалы возрастания и убывания:

   • Функция убывает на интервалах, где первая производная отрицательна: [ (-\infty, -1) \cup (0, 1) ]
   • Функция возрастает на интервалах, где первая производная положительна: [ (-1, 0) \cup (1, +\infty) ]

Таким образом, интервалы возрастания функции ( y = x^4 - 2x^2 ) это ((-\infty, -1) \cup (0, 1)), а интервалы убывания — ((-1, 0) \cup (1, +\infty)).