Найти наименьшее натуральное число, половина которого есть полный квадрат, треть которого - куб и пятая...

Пусть искомое число равно N. Тогда можно записать следующую систему уравнений:

1) N/2 = x^2, где x - целое число 2) N/3 = y^3, где y - целое число 3) N/5 = z^5, где z - целое число

Решая данную систему уравнений, получаем:

1) N = 2x^2 2) N = 3y^3 3) N = 5z^5

Из данных уравнений видно, что N должно быть кратно 2, 3 и 5 одновременно. Наименьшим таким числом будет их НОК, то есть N = 2 3 5 = 30.

Таким образом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условиям задачи, равно 30.

Наименьшее такое число - 360.

Для решения этой задачи нам нужно найти наименьшее натуральное число ( n ), которое удовлетворяет следующим условиям:

1. (\frac{n}{2}) является полным квадратом.
2. (\frac{n}{3}) является полным кубом.
3. (\frac{n}{5}) является полной пятой степенью.

Обозначим:

• (\frac{n}{2} = a^2), где ( a ) — натуральное число.
• (\frac{n}{3} = b^3), где ( b ) — натуральное число.
• (\frac{n}{5} = c^5), где ( c ) — натуральное число.

Из этих выражений следует, что:

[ n = 2a^2 = 3b^3 = 5c^5. ]

Итак, число ( n ) должно быть кратно 2, 3 и 5, т.е. наименьшее ( n ) будет кратно ( \text{НОК}(2, 3, 5) = 30 ).

Представим ( n ) в виде ( n = 2^x \times 3^y \times 5^z \times k ), где ( k ) не делится на 2, 3 или 5.

Для каждого условия:

1. ( 2a^2 = n \Rightarrow a^2 = \frac{n}{2} ) значит ( n/2 ) должно быть полным квадратом. Следовательно, для ( n = 2^x \times 3^y \times 5^z \times k ), ( x-1, y, z ) и все степени в разложении ( k ) должны быть четными.

2. ( 3b^3 = n \Rightarrow b^3 = \frac{n}{3} ) значит ( n/3 ) должно быть полным кубом. Таким образом, ( x, y-1, z ) и все степени в разложении ( k ) должны быть кратны 3.

3. ( 5c^5 = n \Rightarrow c^5 = \frac{n}{5} ) значит ( n/5 ) должно быть полной пятой степенью. Следовательно, ( x, y, z-1 ) и все степени в разложении ( k ) должны быть кратны 5.

Теперь решим систему условий:

• ( x-1 \equiv 0 \pmod{2} )
• ( y \equiv 0 \pmod{2} )

• ( z \equiv 0 \pmod{2} )

• ( x \equiv 0 \pmod{3} )

• ( y-1 \equiv 0 \pmod{3} )

• ( z \equiv 0 \pmod{3} )

• ( x \equiv 0 \pmod{5} )

• ( y \equiv 0 \pmod{5} )
• ( z-1 \equiv 0 \pmod{5} )

Решая систему, получим:

1. ( x \equiv 0 \pmod{30} ) (кратное 2, 3 и 5)
2. ( y \equiv 2 \pmod{30} ) (чтобы быть кратным 2 и 5, и ( y-1 \equiv 0 \pmod{3} ))
3. ( z \equiv 10 \pmod{30} ) (чтобы быть кратным 2 и 3, и ( z-1 \equiv 0 \pmod{5} ))

Наименьшие такие ( x, y, z ) дают:

• ( x = 0 )
• ( y = 2 )
• ( z = 10 )

Таким образом, наименьшее ( n = 2^0 \times 3^2 \times 5^{10} = 9 \times 9765625 = 87890625 ).

Поэтому наименьшее натуральное число, удовлетворяющее всем условиям, равно 87890625.