Найти площадь треугольника с вершинами А(1 -2 3) В(0 -1 2) С(3 4 5) тема векторное произведение

Чтобы найти площадь треугольника с вершинами ( A(1, -2, 3) ), ( B(0, -1, 2) ) и ( C(3, 4, 5) ) с использованием векторного произведения, следуем следующим шагам:

1. Найти векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ): Вектор ( \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 1, -1 - (-2), 2 - 3) = (-1, 1, -1) ). Вектор ( \overrightarrow{AC} = C - A = (3 - 1, 4 - (-2), 5 - 3) = (2, 6, 2) ).

2. Найти векторное произведение ( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} ): Векторное произведение двух векторов ( \overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3) ) и ( \overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3) ) определяется как: [ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ u_1 & u_2 & u_3 \ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} ] Для наших векторов ( \overrightarrow{AB} = (-1, 1, -1) ) и ( \overrightarrow{AC} = (2, 6, 2) ): [ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -1 & 1 & -1 \ 2 & 6 & 2 \end{vmatrix} ]

   Раскрываем определитель по первой строке: [ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i}(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 6) - \mathbf{j}((-1) \cdot 2 - (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}((-1) \cdot 6 - 1 \cdot 2) ] [ = \mathbf{i}(2 + 6) - \mathbf{j}(-2 + 2) + \mathbf{k}(-6 - 2) ] [ = \mathbf{i} \cdot 8 - \mathbf{j} \cdot 0 + \mathbf{k} \cdot (-8) ] [ = (8, 0, -8) ]

3. Найти длину векторного произведения ( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} ): Длина вектора ( (8, 0, -8) ) равна: [ | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} | = \sqrt{8^2 + 0^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 0 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} ]

4. Найти площадь треугольника: Площадь треугольника определяется как половина длины векторного произведения двух его сторон: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} | = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2} ]

Итак, площадь треугольника с вершинами ( A(1, -2, 3) ), ( B(0, -1, 2) ) и ( C(3, 4, 5) ) равна ( 4\sqrt{2} ) квадратных единиц.

Для того чтобы найти площадь треугольника, образованного заданными вершинами, можно воспользоваться векторным произведением.

1. Найдем векторы AB и AC: AB = B - A = (0 - 1, -1 - (-2), 2 - 3) = (1, 1, -1) AC = C - A = (3 - 1, 4 - (-2), 5 - 3) = (2, 6, 2)

2. Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC: N = AB x AC = (i, j, k) i = (1 2) - (-1 6) = 2 + 6 = 8 j = (-1 2) - (1 2) = -2 - 2 = -4 k = (1 6) - (1 2) = 6 - 2 = 4 N = (8, -4, 4)

3. Найдем модуль вектора N: |N| = sqrt(8^2 + (-4)^2 + 4^2) = sqrt(64 + 16 + 16) = sqrt(96) = 4*sqrt(6)

4. Площадь треугольника равна половине модуля вектора N: S = 1/2 |N| = 1/2 4sqrt(6) = 2sqrt(6)

Таким образом, площадь треугольника, образованного вершинами A(1, -2, 3), B(0, -1, 2), C(3, 4, 5), равна 2*sqrt(6).