Найти третий член геометрической прогрессии(xn), если S=21, q=2/3

Чтобы найти третий член геометрической прогрессии, давайте сначала разберемся с данными, которые у нас есть:

1. Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии ( S ) равна 21.
2. Знаменатель прогрессии ( q ) равен ( \frac{2}{3} ).

Формула для суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

[ S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q} ]

где ( a ) — первый член прогрессии, а ( q ) — знаменатель прогрессии. В данном случае, ( S_n = 21 ), и нам нужно найти третий член прогрессии ( x_3 ).

Третий член прогрессии ( x_3 ) можно выразить в виде:

[ x_3 = a \cdot q^2 ]

Таким образом, задача сводится к нахождению значения ( a ).

Если мы предположим, что сумма первых трёх членов прогрессии равна 21, то ( n = 3 ). Подставим значения в формулу для суммы:

[ 21 = a \frac{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^3}{1 - \frac{2}{3}} ]

Упростим выражение:

1. Вычислим ( \left(\frac{2}{3}\right)^3 ):

[ \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} ]

1. Подставим это значение в уравнение:

[ 21 = a \frac{1 - \frac{8}{27}}{\frac{1}{3}} ]

1. Упростим дробь:

[ 1 - \frac{8}{27} = \frac{27}{27} - \frac{8}{27} = \frac{19}{27} ]

1. Подставим обратно:

[ 21 = a \cdot \frac{19}{27} \cdot 3 ]

1. Упростим выражение:

[ 21 = a \cdot \frac{19}{9} ]

1. Найдём ( a ):

[ a = 21 \cdot \frac{9}{19} = \frac{189}{19} ]

Теперь, когда мы знаем первый член прогрессии ( a ), найдём третий член ( x_3 ):

[ x_3 = a \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{189}{19} \cdot \frac{4}{9} ]

[ x_3 = \frac{189 \cdot 4}{19 \cdot 9} = \frac{756}{171} ]

Упростим дробь:

[ x_3 = \frac{252}{57} ]

[ x_3 = \frac{84}{19} ]

Итак, третий член геометрической прогрессии ( x_3 ) равен ( \frac{84}{19} ).

Для нахождения третьего члена геометрической прогрессии нужно знать сумму первых трех членов и знаменатель прогрессии.

Общая формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом: S = a * (1 - q^n) / (1 - q),

где S - сумма, a - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - количество членов прогрессии.

Известно, что S = 21 и q = 2/3. Для нахождения третьего члена прогрессии, мы можем предположить, что первый член равен a и второй член равен a q. Тогда сумма первых трех членов будет равна: S = a + a q + a * q^2.

Подставляем значения S и q: 21 = a + a 2/3 + a (2/3)^2, 21 = a + 2a/3 + 4a/9, 21 = 9a/9 + 6a/9 + 4a/9, 21 = (9a + 6a + 4a) / 9, 21 = 19a / 9, 21 * 9 = 19a, 189 = 19a, a = 189 / 19, a = 10.

Таким образом, первый член прогрессии равен 10. Третий член прогрессии можно найти, используя формулу для геометрической прогрессии: xn = a q^(n-1), x3 = 10 (2/3)^(3-1), x3 = 10 (2/3)^2, x3 = 10 (4/9), x3 = 40 / 9, x3 = 4.44.

Таким образом, третий член геометрической прогрессии равен 4.44.