Найти угол между векторами а(1;3) b(2;1)

Для нахождения угла между двумя векторами ( \mathbf{a} = (1, 3) ) и ( \mathbf{b} = (2, 1) ), мы можем использовать формулу, связанную с их скалярным произведением:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos \theta ]

где:

• ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) — скалярное произведение векторов,
• ( |\mathbf{a}| ) и ( |\mathbf{b}| ) — длины (модули) векторов,
• ( \theta ) — угол между векторами.

Шаг 1: Вычислить скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов ( \mathbf{a} = (a_1, a_2) ) и ( \mathbf{b} = (b_1, b_2) ) рассчитывается по формуле:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 ]

Для наших векторов: [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5 ]

Шаг 2: Найти длины векторов

Длины векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) вычисляются по формуле:

[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} ] [ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} ]

Для вектора ( \mathbf{a} ): [ |\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} ]

Для вектора ( \mathbf{b} ): [ |\mathbf{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} ]

Шаг 3: Подставить значения в формулу для нахождения угла

Используем формулу для нахождения угла:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|} ]

Подставляем найденные значения:

[ \cos \theta = \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Шаг 4: Найти угол ( \theta )

Используем обратную функцию косинуса (аркус косинус), чтобы найти угол:

[ \theta = \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) ]

Значение ( \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) ) равно ( \frac{\pi}{4} ) радиан или ( 45^\circ ).

Ответ

Угол между векторами ( \mathbf{a} = (1, 3) ) и ( \mathbf{b} = (2, 1) ) составляет ( 45^\circ ).

Для нахождения угла между двумя векторами а и b необходимо воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (а b) / (|а| |b|),

где а * b - скалярное произведение векторов, |а| и |b| - длины векторов а и b соответственно.

Для векторов а(1;3) и b(2;1) скалярное произведение будет равно:

а b = 12 + 3*1 = 2 + 3 = 5.

Длины векторов а и b равны:

|а| = √(1^2 + 3^2) = √(1 + 9) = √10, |b| = √(2^2 + 1^2) = √(4 + 1) = √5.

Подставляем полученные значения в формулу для косинуса угла между векторами:

cos(θ) = 5 / (√10 * √5) = 5 / (√50) = 5 / (5√2) = 1 / √2 = √2 / 2.

Угол между векторами а и b можно найти как обратный косинус полученного значения:

θ = arccos(√2 / 2) ≈ 45°.

Таким образом, угол между векторами а(1;3) и b(2;1) составляет примерно 45 градусов.

Угол между векторами а и b можно найти по формуле: cos(θ) = (ab) / (|a| |b|), где a*b - скалярное произведение векторов a и b, |a| и |b| - длины векторов a и b. Подставив значения векторов a(1;3) и b(2;1), найдем угол между ними.