Найти значение параметров n и m при которых вектора a=(3;2;m) и b=(9;n;12) коллинеарны

Для того чтобы векторы ( \mathbf{a} = (3, 2, m) ) и ( \mathbf{b} = (9, n, 12) ) были коллинеарны, их координаты должны быть пропорциональны. Это означает, что существует число ( k ), такое что:

[ \mathbf{b} = k \mathbf{a} ]

Или, в координатной форме:

[ (9, n, 12) = k (3, 2, m). ]

Развернем это условие по координатам: [ 9 = 3k, \quad n = 2k, \quad 12 = mk. ]

1. Из первого уравнения находим ( k ):

[ 9 = 3k \implies k = \frac{9}{3} = 3. ]

2. Подставляем значение ( k = 3 ) во второе уравнение:

[ n = 2k \implies n = 2 \cdot 3 = 6. ]

3. Подставляем значение ( k = 3 ) в третье уравнение:

[ 12 = mk \implies m \cdot 3 = 12 \implies m = \frac{12}{3} = 4. ]

Ответ:

Векторы ( \mathbf{a} = (3, 2, m) ) и ( \mathbf{b} = (9, n, 12) ) будут коллинеарны при ( m = 4 ) и ( n = 6 ).

Проверка:

Проверим, что координаты ( \mathbf{b} ) действительно являются произведением ( \mathbf{a} ) на одно и то же число ( k = 3 ): [ k \cdot \mathbf{a} = 3 \cdot (3, 2, 4) = (9, 6, 12), ] что совпадает с ( \mathbf{b} = (9, 6, 12) ). Условие коллинеарности выполнено.

Чтобы векторы ( \mathbf{a} = (3, 2, m) ) и ( \mathbf{b} = (9, n, 12) ) были коллинеарны, они должны быть пропорциональны. Это означает, что существует скаляр ( k ), такой что:

[ \mathbf{a} = k \cdot \mathbf{b} ]

Это приводит к системе уравнений:

1. ( 3 = k \cdot 9 )
2. ( 2 = k \cdot n )
3. ( m = k \cdot 12 )

Решим первое уравнение для ( k ):

[ k = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} ]

Теперь подставим значение ( k ) в остальные уравнения.

Для второго уравнения:

[ 2 = \frac{1}{3} \cdot n ]

Умножим обе стороны на 3:

[ n = 2 \cdot 3 = 6 ]

Теперь для третьего уравнения:

[ m = \frac{1}{3} \cdot 12 ]

Умножим обе стороны на 3:

[ m = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4 ]

Таким образом, мы нашли значения параметров ( n ) и ( m ):

[ n = 6, \quad m = 4 ]

Для проверки можно подставить найденные значения обратно в векторы и убедиться в их коллинеарности:

Вектор ( \mathbf{a} = (3, 2, 4) ) и вектор ( \mathbf{b} = (9, 6, 12) ).

Проверим пропорциональность:

[ \frac{3}{9} = \frac{1}{3}, \quad \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad \frac{4}{12} = \frac{1}{3} ]

Все три отношения равны ( \frac{1}{3} ), что подтверждает, что векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) коллинеарны при ( n = 6 ) и ( m = 4 ).

Вектора ( \mathbf{a} = (3, 2, m) ) и ( \mathbf{b} = (9, n, 12) ) коллинеарны, если существует скаляр ( k ), такой что:

[ \mathbf{a} = k \mathbf{b} ]

Это означает, что:

1. ( 3 = 9k )
2. ( 2 = nk )
3. ( m = 12k )

Из первого уравнения:

[ k = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} ]

Подставим значение ( k ) во второе уравнение:

[ 2 = n \cdot \frac{1}{3} \implies n = 2 \cdot 3 = 6 ]

Теперь подставим ( k ) в третье уравнение:

[ m = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4 ]

Таким образом, значения параметров:

( n = 6 ) и ( m = 4 ).