Найти значение производной: F(x)=4x-7\x^2+4 ;при x0=0

Чтобы найти значение производной функции ( F(x) = 4x - \frac{7}{x^2} + 4 ) в точке ( x_0 = 0 ), необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции ( F(x) ): Для этого применим стандартные правила дифференцирования:

   • Производная от ( 4x ) равна ( 4 ).
   • Производная от ( -\frac{7}{x^2} ) может быть найдена с помощью правила степени. Перепишем ( \frac{7}{x^2} ) как ( 7x^{-2} ). Производная ( 7x^{-2} ) равна ( 7 \times (-2)x^{-3} = -14x^{-3} ).
   • Производная константы ( 4 ) равна ( 0 ).

   Таким образом, производная функции ( F(x) ) будет: [ F'(x) = 4 - 14x^{-3} ]

2. Подставить значение ( x_0 = 0 ) в производную: Однако здесь возникает проблема: подставляя ( x = 0 ) в производную ( F'(x) = 4 - 14x^{-3} ), мы сталкиваемся с выражением ( x^{-3} ), которое при ( x = 0 ) становится неопределённым.

Таким образом, значение производной функции ( F(x) = 4x - \frac{7}{x^2} + 4 ) в точке ( x_0 = 0 ) не существует из-за неопределённости в выражении ( -14x^{-3} ) при ( x = 0 ).

Для нахождения значения производной функции F(x) = (4x - 7) / (x^2 + 4) в точке x0 = 0, необходимо применить правило дифференцирования сложной функции (правило Лейбница) и правило дифференцирования частного функций.

Сначала найдем производную числителя функции F(x): F'(x) = d/dx (4x - 7) = 4

Затем найдем производную знаменателя функции F(x): G(x) = x^2 + 4 G'(x) = d/dx (x^2 + 4) = 2x

Теперь используем правило дифференцирования частного функций: F'(x) = (G(x) F'(x) - F(x) G'(x)) / (G(x))^2 F'(x) = ((x^2 + 4) 4 - (4x - 7) 2x) / (x^2 + 4)^2 F'(x) = (4x^2 + 16 - 8x^2 + 14x) / (x^2 + 4)^2 F'(x) = (-4x^2 + 14x + 16) / (x^2 + 4)^2

Теперь подставим x = 0 в полученное выражение: F'(0) = (-40^2 + 140 + 16) / (0^2 + 4)^2 F'(0) = 16 / 16 = 1

Таким образом, значение производной функции F(x) = (4x - 7) / (x^2 + 4) в точке x0 = 0 равно 1.

F'(x) = (4(x^2 + 4) - (4x - 7)(2x)) / (x^2 + 4)^2 F'(0) = (4(0^2 + 4) - (4(0) - 7)(2(0))) / (0^2 + 4)^2 F'(0) = (4(4) - (0 - 7)(0)) / (4)^2 F'(0) = (16 - 0) / 16 F'(0) = 16 / 16 F'(0) = 1