Найти значение выражения (1- log2 12)(1- log6 12)

Для решения данного выражения, сначала выразим логарифмы числа 12 по основаниям 2 и 6 через натуральный логарифм.

Логарифм числа 12 по основанию 2: log2 12 = ln 12 / ln 2 ≈ 2.585

Логарифм числа 12 по основанию 6: log6 12 = ln 12 / ln 6 ≈ 1.429

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение и выполним вычисления:

(1 - 2.585)(1 - 1.429) ≈ (-1.585)(-0.429) ≈ 0.679

Итак, значение выражения (1 - log2 12)(1 - log6 12) равно приблизительно 0.679.

Чтобы найти значение выражения ( (1 - \log_2 12)(1 - \log_6 12) ), нам нужно сначала упростить каждую из его частей.

1. Рассмотрим первую часть: ( 1 - \log_2 12 ).

Выразим (\log_2 12) через более простые логарифмы: [ \log_2 12 = \log_2 (2^2 \cdot 3) = \log_2 4 + \log_2 3 = 2 + \log_2 3. ]

Поэтому: [ 1 - \log_2 12 = 1 - (2 + \log_2 3) = 1 - 2 - \log_2 3 = -1 - \log_2 3. ]

1. Рассмотрим вторую часть: ( 1 - \log_6 12 ).

Выразим (\log_6 12) через более простые логарифмы: [ \log_6 12 = \log_6 (6 \cdot 2) = \log_6 6 + \log_6 2 = 1 + \log_6 2. ]

Поэтому: [ 1 - \log_6 12 = 1 - (1 + \log_6 2) = 1 - 1 - \log_6 2 = -\log_6 2. ]

Теперь произведение двух выражений: [ (1 - \log_2 12)(1 - \log_6 12) = (-1 - \log_2 3)(-\log_6 2). ]

Раскроем скобки: [ = (-1)(-\log_6 2) - (\log_2 3)(-\log_6 2) ] [ = \log_6 2 + \log_2 3 \cdot \log_6 2. ]

Теперь упростим выражение (\log_2 3 \cdot \log_6 2) с помощью изменения основания логарифмов. Заметим, что: [ \log_2 3 \cdot \log_6 2 = \left(\frac{\log 3}{\log 2}\right) \cdot \left(\frac{\log 2}{\log 6}\right) = \frac{\log 3}{\log 6}. ]

Таким образом, выражение становится: [ \log_6 2 + \frac{\log 3}{\log 6}. ]

Теперь заметим, что (\log_6 2 = \frac{\log 2}{\log 6}), поэтому: [ \log_6 2 + \frac{\log 3}{\log 6} = \frac{\log 2 + \log 3}{\log 6} = \frac{\log 6}{\log 6} = 1. ]

Таким образом, значение данного выражения равно 1.