Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(-5;2) на прямую 4х-у+3=0
Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(-5;2) на прямую 4х-у+3=0
Для того чтобы написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую, нужно учитывать следующее:
Найти направляющий вектор прямой, на которую опущен перпендикуляр. В данном случае у прямой уравнение 4х-у+3=0 имеет вид у = 4х + 3, что означает, что направляющий вектор данной прямой равен (4, -1).
Найти уравнение прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной данной прямой. Так как перпендикуляр к прямой имеет наклон -1/4 (противоположный обратному наклону прямой), то уравнение перпендикуляра будет иметь вид у = -1/4х + b.
Найдем коэффициент b, подставив координаты точки А(-5;2) в уравнение перпендикуляра: 2 = -1/4 * (-5) + b => 2 = 5/4 + b => b = 2 - 5/4 = 3/4.
Таким образом, уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(-5;2) на прямую 4х-у+3=0 будет у = -1/4х + 3/4.
Чтобы найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки ( A(-5, 2) ) на прямую ( 4x - y + 3 = 0 ), следуем следующему плану:
Определение углового коэффициента исходной прямой:
Приведем уравнение прямой ( 4x - y + 3 = 0 ) к общему виду ( y = kx + b ). [ y = 4x + 3 ] Здесь ( k = 4 ) — угловой коэффициент исходной прямой.
Нахождение углового коэффициента перпендикулярной прямой:
Если две прямые перпендикулярны, произведение их угловых коэффициентов равно -1. Обозначим угловой коэффициент перпендикулярной прямой через ( k_1 ). Тогда: [ 4 \cdot k_1 = -1 \implies k_1 = -\frac{1}{4} ]
Запись уравнения перпендикулярной прямой в общем виде:
Уравнение прямой с угловым коэффициентом ( -\frac{1}{4} ), проходящей через точку ( A(-5, 2) ), можно записать как: [ y - y_1 = k_1 (x - x_1) ] Подставим значения ( x_1 = -5 ), ( y_1 = 2 ), и ( k_1 = -\frac{1}{4} ): [ y - 2 = -\frac{1}{4}(x + 5) ]
Преобразование уравнения в стандартную форму:
Упростим это выражение: [ y - 2 = -\frac{1}{4}x - \frac{5}{4} ] Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей: [ 4y - 8 = -x - 5 ] Приведем уравнение к стандартному виду ( Ax + By + C = 0 ): [ x + 4y - 3 = 0 ]
Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой, проходящей через точку ( A(-5, 2) ) и перпендикулярной прямой ( 4x - y + 3 = 0 ), имеет вид: [ x + 4y - 3 = 0 ]
