Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x^2+1, x0=1

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции ( f(x) = x^2 + 1 ) в точке ( x_0 = 1 ), нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти значение функции в точке ( x_0 ):

   Подставим ( x_0 = 1 ) в функцию: [ f(1) = 1^2 + 1 = 2 ] Таким образом, точка касания на графике функции имеет координаты ( (1, 2) ).

2. Найти производную функции ( f(x) ):

   Производная функции ( f(x) = x^2 + 1 ) по ( x ) равна: [ f'(x) = 2x ]

3. Найти значение производной в точке ( x_0 ):

   Подставим ( x_0 = 1 ) в производную: [ f'(1) = 2 \times 1 = 2 ] Это значение является угловым коэффициентом касательной.

4. Записать уравнение касательной:

   Уравнение касательной в точке ( (x_0, f(x_0)) ) можно записать в виде: [ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) ]

   Подставим известные значения: [ y = 2(x - 1) + 2 ]

5. Упростить уравнение:

   Раскрываем скобки и упрощаем: [ y = 2x - 2 + 2 = 2x ]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( f(x) = x^2 + 1 ) в точке ( x_0 = 1 ) имеет вид: [ y = 2x ]

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x)=x^2+1 в точке x0=1, необходимо найти значение производной функции в этой точке и использовать его как угловой коэффициент касательной.

Для нахождения производной функции f(x)=x^2+1 воспользуемся определением производной: f'(x) = lim(h->0) (f(x0 + h) - f(x0)) / h f'(x) = lim(h->0) ((x0 + h)^2 + 1 - (x0^2 + 1)) / h f'(x) = lim(h->0) (2x0h + h^2) / h f'(x) = lim(h->0) (2x0 + h) f'(1) = 2*1 = 2

Таким образом, производная функции f'(x) в точке x0=1 равна 2. Теперь мы можем записать уравнение касательной в виде: y - (1^2 + 1) = 2(x - 1)

y = x^2 + 1 - 2(x - 1) y = x^2 + 1 - 2x + 2 y = x^2 - 2x + 3

Итак, уравнение касательной к графику функции f(x)=x^2+1 в точке x0=1 имеет вид y = x^2 - 2x + 3.