Опишите построение точки симметричной данной точке m относительно данной прямой l

Для построения точки, симметричной данной точке m относительно прямой l, проводим перпендикуляр к l из точки m. Точка пересечения перпендикуляра и прямой l будет искомой симметричной точкой.

Построение точки, симметричной данной точке ( m ) относительно данной прямой ( l ), требует выполнения нескольких шагов, которые можно проделать с помощью линейки и циркуля. Давайте рассмотрим этот процесс детально.

Шаги построения

1. Обозначение точки и прямой:

   • Пусть ( m ) — это данная точка, координаты которой обозначим как ( (x_0, y_0) ).
   • Пусть ( l ) — это данная прямая. Прямая ( l ) может быть описана уравнением вида ( Ax + By + C = 0 ).

2. Определение перпендикуляра:

   • Для того чтобы найти точку симметричную ( m ) относительно ( l ), сначала нужно провести перпендикуляр из точки ( m ) к прямой ( l ). Это можно сделать, найдя уравнение перпендикуляра.
   • Вектор нормали к прямой ( l ) имеет координаты ( (A, B) ). Направляющий вектор перпендикуляра будет ортогонален этому вектору, и его координаты можно выразить как ( (-B, A) ).

3. Уравнение перпендикуляра:

   • Уравнение прямой, проходящей через точку ( m ) и перпендикулярной к прямой ( l ), можно записать в виде: [ A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0 ]
   • Раскрыв скобки, получим уравнение перпендикуляра: [ Ax + By = Ax_0 + By_0 ]

4. Нахождение точки пересечения:

   • Решим систему уравнений, состоящую из уравнения прямой ( l ): [ Ax + By + C = 0 ] и уравнения перпендикуляра: [ Ax + By = Ax_0 + By_0 ]
   • Вычитая одно уравнение из другого, получим: [ C = -Ax_0 - By_0 ]
   • Подставив это значение в уравнение прямой ( l ), найдем координаты точки пересечения ( H ) перпендикуляра и прямой ( l ).

5. Нахождение симметричной точки:

   • Точка ( H ) является серединой отрезка, соединяющего точку ( m ) и её симметричную точку ( m' ).
   • Координаты точки ( H ) — это среднее арифметическое координат точек ( m ) и ( m' ): [ H_x = \frac{x_0 + x'}{2}, \quad H_y = \frac{y_0 + y'}{2} ]
   • Зная координаты ( H ) и ( m ), можно найти координаты симметричной точки ( m' ): [ x' = 2H_x - x_0, \quad y' = 2H_y - y_0 ]

Пример

Рассмотрим конкретный пример для лучшего понимания:

• Пусть точка ( m ) имеет координаты ( (3, 4) ).
• Прямая ( l ) задана уравнением ( 2x - y + 1 = 0 ).

1. Определим перпендикуляр: [ 2(x - 3) - (y - 4) = 0 \implies 2x - y = 2 \cdot 3 - 4 \implies 2x - y = 2 ]

2. Решение системы уравнений: [ \begin{cases} 2x - y + 1 = 0 \ 2x - y = 2 \end{cases} ] Вычтем одно уравнение из другого: [ 2x - y - (2x - y + 1) = 2 - 0 \implies -1 = 2 - 0 ] Решим уравнение для ( x ) и ( y ), найдем координаты точки пересечения ( H ).

3. Координаты симметричной точки: [ x' = 2H_x - 3, \quad y' = 2H_y - 4 ]

Заключение

Построение симметричной точки относительно прямой требует использования основных методов аналитической геометрии. Сначала находим перпендикулярную прямую, затем точку пересечения, а после этого рассчитываем координаты симметричной точки. Этот метод универсален и может быть применен для любой точки и произвольной прямой на плоскости.

Для построения точки, симметричной данной точке m относительно прямой l, следует выполнить следующие шаги:

1. Проведите перпендикуляр к прямой l из точки m. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой l как точку A.

2. Из точки A проведите отрезок, равный отрезку Am, в противоположную сторону от прямой l. Точка, в которой этот отрезок пересечет прямую l, будет являться искомой точкой, симметричной точке m относительно прямой l.

Таким образом, точка, симметричная точке m относительно прямой l, будет лежать на линии, параллельной прямой l и удаленной от нее на расстоянии, равном расстоянию точек m и A.