Определи, какова вероятность того, что при 12 бросаниях игрального кубика «четвёрка» выпадет ровно 3...

Для решения задачи на определение вероятности того, что при 12 бросках игрального кубика «четвёрка» выпадет ровно 3 раза, необходимо использовать формулу биномиального распределения.

Шаг 1. Формула биномиального распределения

Формула биномиального распределения имеет вид:

[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}, ]

где:

• (P(X = k)) — вероятность того, что событие произойдёт ровно (k) раз;
• (n) — общее количество испытаний (в данном случае (n = 12));
• (k) — количество успехов, которое нас интересует (в данном случае (k = 3));
• (p) — вероятность успеха в каждом отдельном испытании (в данном случае вероятность выпадения «четвёрки» равна (p = \frac{1}{6}));
• (C(n, k)) — число сочетаний из (n) по (k) (то есть, сколько способов можно выбрать (k) успехов из (n) испытаний): [ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}. ]

Шаг 2. Подставляем значения

1. Общее количество испытаний: (n = 12).
2. Количество успехов: (k = 3).
3. Вероятность успеха (выпадения «четвёрки»): (p = \frac{1}{6}).
4. Вероятность неудачи (то есть выпадения любого другого числа): (1 - p = \frac{5}{6}).

Шаг 3. Вычисляем число сочетаний (C(12, 3))

Для вычисления числа сочетаний (C(12, 3)) используем формулу: [ C(12, 3) = \frac{12!}{3! \cdot (12 - 3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220. ]

Шаг 4. Вычисляем вероятность (P(X = 3))

Подставляем значения в формулу биномиального распределения:

[ P(X = 3) = C(12, 3) \cdot p^3 \cdot (1 - p)^{12 - 3}. ]

Подставляем (C(12, 3) = 220), (p = \frac{1}{6}), (1 - p = \frac{5}{6}), (n = 12), (k = 3):

[ P(X = 3) = 220 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^9. ]

Вычислим каждую часть отдельно:

1. (\left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216}),
2. (\left(\frac{5}{6}\right)^9 = \frac{5^9}{6^9} = \frac{1953125}{10077696}),
3. Умножаем всё вместе: [ P(X = 3) = 220 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{1953125}{10077696}. ]

Упростим: [ P(X = 3) = \frac{220 \cdot 1953125}{216 \cdot 10077696}. ]

Считаем числитель и знаменатель: [ P(X = 3) = \frac{429687500}{2179457280}. ]

Упрощаем дробь: [ P(X = 3) \approx 0.1974. ]

Ответ

Вероятность того, что при 12 бросках игрального кубика «четвёрка» выпадет ровно 3 раза, составляет примерно 0.1974 или 19.74%.

Для решения задачи о вероятности того, что при 12 бросаниях игрального кубика «четвёрка» выпадет ровно 3 раза, мы можем воспользоваться биномиальным распределением.

Определим параметры:

• ( n = 12 ) — общее число бросаний,
• ( k = 3 ) — число успешных исходов (выпадение «четвёрки»),
• ( p = \frac{1}{6} ) — вероятность выпадения «четвёрки» в одном броске (так как на игральном кубике 6 граней),
• ( q = 1 - p = \frac{5}{6} ) — вероятность того, что «четвёрка» не выпадет в одном броске.

Формула биномиального распределения:

Вероятность того, что событие произойдет ровно ( k ) раз в ( n ) независимых испытаниях, описывается формулой:

[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} ]

где ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

Вычислим биномиальный коэффициент:

[ C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220 ]

Теперь подставим все значения в формулу:

[ P(X = 3) = C(12, 3) \cdot p^3 \cdot q^{12-3} ] [ = 220 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^9 ]

Вычислим ( p^3 ) и ( q^9 ):

[ \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216} ] [ \left(\frac{5}{6}\right)^9 \approx 0.1938 \quad \text{(можно вычислить с помощью калькулятора)} ]

Теперь умножим все вместе:

[ P(X = 3) = 220 \cdot \frac{1}{216} \cdot 0.1938 ] [ = \frac{220 \cdot 0.1938}{216} \approx 0.2004 ]

Таким образом, вероятность того, что при 12 бросаниях игрального кубика «четвёрка» выпадет ровно 3 раза, составляет примерно 0.2004 или 20.04%.