Определите координаты вершин треугольника ABC,если середины его сторон имеют координаты К(-4;2) L(1;6),М(-3;2).Найдите...

Для определения координат вершин треугольника ABC, можно воспользоваться тем фактом, что середины сторон треугольника соединены отрезками с вершинами, делящими их в отношении 2:1. Таким образом, координаты вершины A можно найти, используя координаты середины стороны KL и координаты вершины C:

A(x₁, y₁) = 2K - C

A(x₁, y₁) = 2K - M

A(x₁, y₁) = 2L - M

Подставив известные координаты середин сторон и вершин, найдем координаты вершин треугольника ABC:

A(-9;10), B(-2;4), C(-7;0)

Длина медианы АК можно найти, используя формулу для расчета длины вектора:

|AK| = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

|AK| = √[(-9 - (-4))² + (10 - 2)²] |AK| = √[(-5)² + 8²] |AK| = √[25 + 64] |AK| = √89

Таким образом, длина медианы АК составляет √89.

Для того чтобы найти координаты вершин треугольника ABC, зная координаты середины его сторон, мы воспользуемся свойствами средних линий треугольника. Пусть координаты вершин треугольника ABC будут A(x1, y1), B(x2, y2), и C(x3, y3).

Известно, что:

1. Точка K(-4, 2) является серединой стороны BC.
2. Точка L(1, 6) является серединой стороны AC.
3. Точка M(-3, 2) является серединой стороны AB.

Сначала выразим координаты вершин через координаты середины сторон.

Для точки K, которая является серединой стороны BC: [ K\left(-4, 2\right) = \left(\frac{x2 + x3}{2}, \frac{y2 + y3}{2}\right) ] Отсюда: [ x2 + x3 = 2 \cdot (-4) = -8 ] [ y2 + y3 = 2 \cdot 2 = 4 ]

Для точки L, которая является серединой стороны AC: [ L\left(1, 6\right) = \left(\frac{x1 + x3}{2}, \frac{y1 + y3}{2}\right) ] Отсюда: [ x1 + x3 = 2 \cdot 1 = 2 ] [ y1 + y3 = 2 \cdot 6 = 12 ]

Для точки M, которая является серединой стороны AB: [ M\left(-3, 2\right) = \left(\frac{x1 + x2}{2}, \frac{y1 + y2}{2}\right) ] Отсюда: [ x1 + x2 = 2 \cdot (-3) = -6 ] [ y1 + y2 = 2 \cdot 2 = 4 ]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. ( x2 + x3 = -8 )
2. ( y2 + y3 = 4 )
3. ( x1 + x3 = 2 )
4. ( y1 + y3 = 12 )
5. ( x1 + x2 = -6 )
6. ( y1 + y2 = 4 )

Решим эту систему уравнений. Сначала выразим (x3) и (y3) через другие переменные.

Из уравнения ( x1 + x3 = 2 ), выразим (x3): [ x3 = 2 - x1 ]

Из уравнения ( y1 + y3 = 12 ), выразим (y3): [ y3 = 12 - y1 ]

Подставим эти выражения в уравнения ( x2 + x3 = -8 ) и ( y2 + y3 = 4 ): [ x2 + (2 - x1) = -8 ] [ x2 = -8 - 2 + x1 ] [ x2 = x1 - 10 ]

[ y2 + (12 - y1) = 4 ] [ y2 = 4 - 12 + y1 ] [ y2 = y1 - 8 ]

Теперь подставим выражения для (x2) и (y2) в уравнения ( x1 + x2 = -6 ) и ( y1 + y2 = 4 ): [ x1 + (x1 - 10) = -6 ] [ 2x1 - 10 = -6 ] [ 2x1 = 4 ] [ x1 = 2 ]

[ y1 + (y1 - 8) = 4 ] [ 2y1 - 8 = 4 ] [ 2y1 = 12 ] [ y1 = 6 ]

Теперь можем найти (x2), (y2), (x3), и (y3): [ x2 = x1 - 10 = 2 - 10 = -8 ] [ y2 = y1 - 8 = 6 - 8 = -2 ]

[ x3 = 2 - x1 = 2 - 2 = 0 ] [ y3 = 12 - y1 = 12 - 6 = 6 ]

Итак, координаты вершин треугольника ABC: [ A (2, 6), B (-8, -2), C (0, 6) ]

Теперь найдем длину медианы АК, которая соединяет вершину A с серединой стороны BC.

Координаты точки K уже известны: K(-4, 2). Тогда длина медианы АК рассчитывается по формуле: [ AK = \sqrt{(x1 - x_k)^2 + (y1 - y_k)^2} ]

Где ( (x1, y1) ) - координаты точки A (2, 6), а ( (x_k, y_k) ) - координаты точки K (-4, 2).

Подставим значения: [ AK = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (6 - 2)^2} ] [ AK = \sqrt{(2 + 4)^2 + (6 - 2)^2} ] [ AK = \sqrt{6^2 + 4^2} ] [ AK = \sqrt{36 + 16} ] [ AK = \sqrt{52} ] [ AK = 2\sqrt{13} ]

Таким образом, длина медианы AK равна ( 2\sqrt{13} ).