От прямоугольника отрезали квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника. От оставшейся части прямоугольника снова отрезали квадрат со стороной, равной меньшей стороне получившегося прямоугольника. И наконец, в третий раз от оставшейся части прямоугольника отрезали квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, получившегося после второго разрезания. После этого остался квадрат со стороной 1 см. Какие размеры имел первоначальный прямоугольник?
Пусть a и b - стороны прямоугольника, где a > b.
После первого разрезания остается прямоугольник со сторонами (a-b) и b. После второго разрезания остается прямоугольник со сторонами (a-b) и (b-(a-b)) = (a-2b). После третьего разрезания остается квадрат со стороной 1, то есть (a-2b) = 1.
Таким образом, у нас есть система уравнений: 1) a - b = b, 2) a - 2b = 1.
Из первого уравнения получаем, что a = 2b. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем: 2b - 2b = 1, 0 = 1.
Это уравнение не имеет решения, что означает, что такой прямоугольник не существует.
Давайте решим задачу поэтапно.
Пусть первоначальный прямоугольник имеет стороны (a) и (b), где (a \leq b).
Отрезаем первый квадрат со стороной (a), и у нас остаётся прямоугольник со сторонами (a) и (b - a).
Отрезаем второй квадрат со стороной (a), если (a \leq b - a), или со стороной (b - a), если (b - a < a). У нас остаётся прямоугольник со сторонами (a) и (b - 2a), если (a \leq b - a), или со сторонами (b - a) и (a - (b - a)), если (b - a < a).
Отрезаем третий квадрат со стороной (a) или (b - 2a) (в зависимости от предыдущего шага). У нас остаётся квадрат со стороной 1 см.
Давайте рассмотрим первый случай, когда (a \leq b - a).
Теперь определим размеры (b).
Из этого уравнения получаем: [ b - 2 = 1 ] [ b = 3 ]
Таким образом, изначальный прямоугольник имел размеры (1 \text{ см} \times 3 \text{ см}).
Размеры первоначального прямоугольника были 10 см на 17 см.
