Папа, мама и сын стартовали и ездят в одну сторону с постоянными скоростями по круговой велодорожке....

Фляжка сделала 66 кругов.

Чтобы решить эту задачу, нужно найти наименьшее общее кратное времени, за которое каждый из участников сделает целое число кругов.

Папа проезжает круг за 1.5 минуты, мама - за 2 минуты, сын - за 11 минут. Наименьшее общее кратное для этих чисел равно 66 (1.5, 2, 11).

Значит, фляжка сделала 66 кругов, так как когда все они снова оказались на линии старта, фляжка должна была сделать целое количество кругов, равное наименьшему общему кратному времени.

Для решения этой задачи нам нужно понять, как часто каждый из велосипедистов будет обгонять другого, и соответственно, сколько раз будет передаваться фляжка.

1. Расчет времени для полного цикла:
   • Папа проезжает круг за 1,5 минуты.
   • Мама проезжает круг за 2 минуты.
   • Сын проезжает круг за 11 минут.

Наименьшее общее кратное (НОК) этих времен даст нам время, через которое все трое одновременно окажутся на линии старта. Для этого найдем НОК чисел 1.5, 2 и 11.

Для удобства работы с числами умножим все времена на 2, чтобы избавиться от дробей:

• Папа: ( 1.5 \times 2 = 3 ) минуты.
• Мама: ( 2 \times 2 = 4 ) минуты.
• Сын: ( 11 \times 2 = 22 ) минуты.

Теперь найдем НОК чисел 3, 4 и 22:

• Разложение на простые множители:
  • 3: ( 3 )
  • 4: ( 2^2 )
  • 22: ( 2 \times 11 )

НОК будет произведением всех уникальных простых множителей, взятых с максимальной степенью: [ НОК = 2^2 \times 3 \times 11 = 4 \times 3 \times 11 = 132 ]

Таким образом, через 132 минуты все трое велосипедистов одновременно окажутся на линии старта.

1. Расчет количества кругов:

   • Папа: ( 132 \div 1.5 = 88 ) кругов.
   • Мама: ( 132 \div 2 = 66 ) кругов.
   • Сын: ( 132 \div 11 = 12 ) кругов.

2. Сколько кругов сделала фляжка: Теперь нам нужно рассчитать, сколько раз фляжка будет передаваться. Фляжка передается каждый раз, когда кто-то из велосипедистов обгоняет другого.

   • Обгоны папы: Папа обгоняет маму каждые ( 2 - 1.5 = 0.5 ) минуты. За 132 минуты папа обгонит маму: [ \frac{132}{0.5} = 264 ] раза.

     Папа обгоняет сына каждые ( 11 - 1.5 = 9.5 ) минут. За 132 минуты папа обгонит сына: [ \frac{132}{9.5} \approx 13.89 ] раз, округляем до 13 раз (поскольку обгоны происходят целое число раз).

   • Обгоны мамы: Мама обгоняет сына каждые ( 11 - 2 = 9 ) минут. За 132 минуты мама обгонит сына: [ \frac{132}{9} \approx 14.67 ] раз, округляем до 14 раз.

Таким образом, количество кругов фляжки будет суммой всех этих обгонов: [ 264 (папа обгоняет маму) + 13 (папа обгоняет сына) + 14 (мама обгоняет сына) = 291 ]

Ответ: фляжка сделала 291 круг.