Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает...

Первая труба пропускает 9 литров воды в минуту.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• ( x ) - количество литров в минуту, которое пропускает вторая труба;
• ( x - 1 ) - количество литров в минуту, которое пропускает первая труба.

Пусть ( t ) - время, за которое вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров. Тогда первая труба заполняет резервуар объемом 110 литров за время ( t + 2 ) минуты.

Из условия:

1. Вторая труба заполняет 99 литров за ( t ) минут: [ x \cdot t = 99 ]
2. Первая труба заполняет 110 литров за ( t + 2 ) минут: [ (x - 1) \cdot (t + 2) = 110 ]

Теперь решим эти уравнения. Из первого уравнения выразим ( t ): [ t = \frac{99}{x} ]

Подставим ( t ) во второе уравнение: [ (x - 1) \left(\frac{99}{x} + 2\right) = 110 ]

Далее умножим обе стороны на ( x ) для избавления от дроби: [ (x - 1)(99 + 2x) = 110x ]

Раскроем скобки: [ 99x + 2x^2 - 99 - 2x = 110x ]

Приведем подобные слагаемые: [ 2x^2 - 13x - 99 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение относительно ( x ). Для этого найдем дискриминант: [ D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-99) = 169 + 792 = 961 ]

Тогда корни уравнения: [ x = \frac{13 \pm \sqrt{961}}{4} = \frac{13 \pm 31}{4} ]

Получаем два корня: [ x_1 = \frac{44}{4} = 11, \quad x_2 = \frac{-18}{4} = -4.5 ]

Поскольку количество литров в минуту не может быть отрицательным числом, выбираем ( x = 11 ). Тогда первая труба пропускает: [ x - 1 = 11 - 1 = 10 \text{ литров в минуту} ]

Таким образом, первая труба пропускает 10 литров воды в минуту.

Обозначим скорость, с которой вода пропускается через вторую трубу, как V литров в минуту. Тогда первая труба пропускает воду со скоростью V - 1 литр в минуту.

Для второй трубы время, за которое она заполнит резервуар объемом 99 литров, равно 99/V минут.

Для первой трубы время, за которое она заполнит резервуар объемом 110 литров, равно 110/(V - 1) минут.

Учитывая, что первая труба заполняет резервуар на 2 минуты дольше, чем вторая труба, получаем уравнение:

110/(V - 1) = 99/V + 2

Упрощаем:

110V = 99(V - 1) + 2(V - 1) 110V = 99V - 99 + 2V - 2 110V = 101V - 101 9V = 101 V = 101 / 9 = 11.(2)

Следовательно, вторая труба пропускает воду со скоростью 11.(2) литров в минуту, а первая труба пропускает на 1 литр в минуту меньше, то есть 10.(2) литров в минуту.