Петя проснулся в восьмом часу утра и заметил, что часовая стрелка его будильника делит пополам угол...

1. Петя должен прозвенеть через 40 минут.
2. Колина прогулка продолжалась 6 часов.

Для решения первой задачи, нам нужно найти угол между минутной и часовой стрелками в момент, когда часы показывают 8 часов. У нас есть следующая информация: часовая стрелка делит пополам угол между минутной стрелкой и стрелкой звонка. Это означает, что угол между минутной и часовой стрелками в данном случае равен 120 градусам (так как часовая стрелка делит угол пополам).

Теперь нам нужно найти, сколько времени прошло до звонка будильника. Поскольку у нас уже есть 120 градусов между стрелками, то чтобы часовая стрелка попала на сторону минутной стрелки, ей нужно пройти еще 60 градусов (половина угла между минутной и часовой стрелками). Таким образом, чтобы ответить на вопрос, через какое время должен прозвенеть будильник, нам нужно найти, сколько времени проходит за 60 градусов движения часовой стрелки.

Чтобы решить вторую задачу, нам нужно найти время прогулки Коли. Мы знаем, что Коля отправился за грибами между 8 и 9 утра, когда часовая и минутная стрелки были совмещены. Это значит, что угол между стрелками был равен 0 градусов. Когда Коля вернулся домой между 2 и 3 дня, стрелки его часов были направлены в противоположные стороны, что означает угол в 180 градусов.

Таким образом, чтобы найти продолжительность прогулки Коли, нам нужно найти разницу между углами возвращения и отправления. Это равно 180 градусов минус 0 градусов, что равно 180 градусам. Значит, прогулка Коли продолжалась 180 градусов времени, что эквивалентно 6 часам.

Давайте решим каждую задачу по очереди.

Задача 1:

Условие: Петя проснулся в восьмом часу утра и заметил, что часовая стрелка его будильника делит пополам угол между минутной стрелкой и стрелкой звонка, показывающей на цифру 8. Через какое время должен прозвенеть будильник?

Решение:

1. Определим положение стрелок:

   • Восьмой час утра — это время между 7:00 и 8:00.
   • Стрелка звонка указывает на цифру 8 (часовая отметка 8 часов).

2. Часовая стрелка:

   • В начале восьмого часа (7:00) часовая стрелка находится на цифре 7.
   • В конце восьмого часа (8:00) она находится на цифре 8.
   • На каждый час часовая стрелка проходит (30^\circ) (всего 360 градусов делим на 12 часов).

3. Минутная стрелка:

   • Минутная стрелка движется по кругу за 60 минут, проходя 360 градусов.

4. Угол между минутной стрелкой и стрелкой звонка:

   • Стрелка звонка указывает на цифру 8, что соответствует (8 \times 30^\circ = 240^\circ).

5. Условие задачи:

   • Часовая стрелка делит пополам угол между минутной стрелкой и стрелкой звонка.

Пусть ( x ) — количество минут после 7:00. Тогда:

• Минутная стрелка проходит ( 6x ) градусов (каждая минута — 6 градусов).
• Часовая стрелка проходит ( 30 + 0.5x ) градусов (30 градусов за полный час плюс (0.5x) за ( x ) минут).

Для часовой стрелки, которая делит угол пополам:

• Угол между минутной стрелкой и стрелкой звонка: ( 240^\circ - 6x ).
• Половина этого угла: ( \frac{240 - 6x}{2} ).

Часовая стрелка находится на ( 30 + 0.5x ) градусах. Тогда имеем уравнение: [ 30 + 0.5x = 6x + \frac{240 - 6x}{2} ] Упростим уравнение: [ 30 + 0.5x = 6x + 120 - 3x ] [ 30 + 0.5x = 3x + 120 ] [ 30 = 2.5x + 120 ] [ -90 = 2.5x ] [ x = -36 ]

Прошло -36 минут после 7:00, что невозможно. Перепроверим: [ 30 + 0.5x = 120 - 3x + 6x ] [ 30 + 0.5x = 120 + 3x ] [ 0.5x - 3x = 90 ] [ -2.5x = 90 ] [ x = 36 ]

Значит, Петя проснулся в 7:36 утра.

Время до звонка:

• 7:36 до 8:00 — это 24 минуты.

Задача 2:

Условие: Коля отправился за грибами между восемью и девятью часами утра в момент, когда часовая и минутная стрелки его часов были совмещены. Домой он вернулся между двумя и тремя часами дня, при этом стрелки его часов были направлены в противоположные стороны. Сколько продолжалась Колина прогулка?

Решение:

1. Время отправления:

   • Между 8 и 9 часами, когда стрелки совмещены.
   • Единственный момент, когда стрелки совмещены — это 8:00.

2. Время возвращения:

   • Между 2 и 3 часами дня, когда стрелки противоположны.
   • Для стрелок быть противоположными, минутная стрелка должна быть на 6 (180 градусов от часовой).

В 2 часа:

• Минутная стрелка укажет на 6 в 2:30 (половина оборота).

Продолжительность прогулки:

• От 8:00 до 2:30.
• 2:30 PM — это 14:30 в 24-часовом формате.
• Разница от 8:00 до 14:30 — 6.5 часов.

Ответ: Прогулка Коли длилась 6 часов 30 минут.