Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года.В середине каждого...

Наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 100 млн рублей, составляет 50 млн рублей.

Рассмотрим шаг за шагом процесс выплаты кредита и начисления процентов, чтобы найти наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 100 миллионов рублей.

Пусть ( S ) — начальная сумма кредита в миллионах рублей.

Год 1

• В середине года долг увеличивается на 10%, и равен ( 1.1S ).
• В конце года заемщик выплачивает проценты за первый год: ( 0.1S ).

Год 2

• В середине года долг снова увеличивается на 10%, и становится ( 1.1 \times 1.1S = 1.21S ).
• В конце года заемщик выплачивает сумму ( X ), которая включает проценты за второй год и часть основного долга.
  • Проценты за второй год: ( 0.21S ).
  • Тогда ( X = 0.21S + P_2 ), где ( P_2 ) — часть основного долга.
  • После выплаты ( X ) долг становится ( 1.21S - X = 1.21S - (0.21S + P_2) = S - P_2 ).

Год 3

• В середине года долг увеличивается на 10%, и становится ( 1.1(S - P_2) ).
• В конце года заемщик выплачивает проценты за третий год: ( 0.1(S - P_2) ).

Год 4

• В середине года долг снова увеличивается на 10%, и становится ( 1.1 \times 1.1(S - P_2) = 1.21(S - P_2) ).
• В конце года заемщик выплачивает сумму ( X ), которая включает проценты за четвертый год и оставшийся основной долг.
  • Проценты за четвертый год: ( 0.21(S - P_2) ).
  • Тогда ( X = 0.21(S - P_2) + P_2 ), чтобы долг к концу 4-го года стал равен нулю.

Теперь, ( X ) — одинаковые суммы выплат в конце 2-го и 4-го годов, следовательно: [ X = 0.21S + P_2 ] [ X = 0.21(S - P_2) + P_2 ]

Решим уравнения: [ 0.21S + P_2 = 0.21(S - P_2) + P_2 ] [ 0.21S + P_2 = 0.21S - 0.21P_2 + P_2 ] [ 0.21S + P_2 = 0.21S - 0.21P_2 + P_2 ] [ 0.21P_2 = 0 ] [ P_2 = 0 ] Это неверно, следовательно, ( X ) не может быть представлено в таком виде. Попробуем иначе: [ X = 1.21S / 2 ]

Теперь найдем общую сумму выплат: [ \text{Сумма выплат} = 0.1S + X + 0.1(S - X/1.21) + X ]

Подставим ( X ): [ X = 1.21S / 2 ] [ \text{Сумма выплат} = 0.1S + 1.21S / 2 + 0.1(S - (1.21S / 2) / 1.21) + 1.21S / 2 ] [ = 0.1S + 0.605S + 0.1(S - 0.5S) + 0.605S ] [ = 0.1S + 0.605S + 0.1 \times 0.5S + 0.605S ] [ = 0.1S + 0.605S + 0.05S + 0.605S ] [ = 1.36S ]

Ищем минимальное ( S ), при котором сумма выплат превышает 100 миллионов рублей: [ 1.36S > 100 ] [ S > 100 / 1.36 ] [ S > 73.529 ]

Так как ( S ) — целое число, минимальное ( S = 74 ) миллиона рублей.

Проверим: [ 1.36 \times 74 = 100.64 ]

Таким образом, наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 100 миллионов рублей, равен 74 миллиона рублей.

Для решения данной задачи можно воспользоваться формулой для расчета общей суммы выплат по кредиту:

( S = P \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r} ),

где S - общая сумма выплат, P - размер кредита, r - годовая процентная ставка, n - количество лет кредита.

При этом нам известно, что заёмщик выплачивает только проценты по кредиту в конце 1-го и 3-го годов, и одинаковые суммы в конце 2-го и 4-го годов. Значит, для расчета общей суммы выплат за 4 года нужно учесть 2 периода, в которых выплачиваются только проценты, и 2 периода, в которых выплачиваются и проценты, и часть основного долга.

Пусть размер кредита P = X миллионов рублей. Тогда общая сумма выплат за 4 года будет:

( S = X \cdot \frac{(1+0.1)^4 - 1}{0.1} + X \cdot (1+0.1)^2 + X \cdot (1+0.1)^4 ).

Подставив значения и учитывая условие задачи ( S > 100 ) млн. рублей, найдем наименьший размер кредита X, при котором это условие выполняется.