Площадь прямоугольного треугольника равна 50√3 . Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника равна 50√3 . Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.
Чтобы найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника, нам нужно использовать информацию об углах и площади треугольника. Давайте пошагово разберёмся с этой задачей.
Углы треугольника: У нас есть прямоугольный треугольник, где один из острых углов равен 30°. Таким образом, второй острый угол равен 60°, так как сумма углов в треугольнике равна 180°.
Стороны треугольника: В прямоугольном треугольнике с углом 30° стороны имеют определённые соотношения. Если обозначить длину гипотенузы как ( c ), то катеты будут равны ( \frac{c}{2} ) (противолежащий угол 30°) и ( \frac{c\sqrt{3}}{2} ) (противолежащий угол 60°).
Площадь треугольника: Площадь треугольника равна ( 50\sqrt{3} ). Формула для площади прямоугольного треугольника — это половина произведения его катетов: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2 ] Подставим в формулу выражения для катетов: [ \frac{1}{2} \times \frac{c}{2} \times \frac{c\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3} ] Упростим уравнение: [ \frac{c^2\sqrt{3}}{8} = 50\sqrt{3} ] Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от дроби: [ c^2\sqrt{3} = 400\sqrt{3} ] Разделим обе части уравнения на (\sqrt{3}): [ c^2 = 400 ] Найдем ( c ), извлекая квадратный корень: [ c = \sqrt{400} = 20 ]
Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 20.
Для решения данной задачи нам необходимо использовать тригонометрические функции. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c.
Сначала найдем площадь прямоугольного треугольника. Формула для площади прямоугольного треугольника равна: S = (ab)/2
Учитывая, что S = 50√3, получаем: 50√3 = (ab)/2 ab = 100√3
Также у нас есть информация о том, что один из острых углов равен 30°. Из этого следует, что тангенс этого угла равен: tg(30°) = a/b 1/√3 = a/b a = b/√3
Теперь мы можем подставить это выражение для a в уравнение ab = 100√3: b(b/√3) = 100√3 b^2 = 100 b = 10
Таким образом, катет b равен 10. Подставим это значение в выражение для a: a = 10/√3 a = 10√3/3
Теперь найдем гипотенузу c, используя теорему Пифагора: c^2 = a^2 + b^2 c^2 = (10√3/3)^2 + 10^2 c^2 = (300/9) + 100 c^2 = 100 + 100 c^2 = 200 c = √200 c = 10√2
Итак, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 10√2.
Длина гипотенузы равна 50.
