Помогите пожалуйста: Комплексное число z=1+i представить в тригонометрической форме

Для представления комплексного числа z=1+i в тригонометрической форме, сначала найдем его модуль и аргумент.

Модуль комплексного числа z=1+i вычисляется по формуле |z| = √(Re(z)^2 + Im(z)^2), где Re(z) - действительная часть, Im(z) - мнимая часть. В данном случае Re(z) = 1, Im(z) = 1, поэтому |z| = √(1^2 + 1^2) = √2.

Аргумент комплексного числа z=1+i вычисляется по формуле arg(z) = arctan(Im(z)/Re(z)), где arctan - арктангенс. В данном случае arg(z) = arctan(1/1) = arctan(1) = π/4.

Таким образом, комплексное число z=1+i в тригонометрической форме будет представлено как z = √2 (cos(π/4) + isin(π/4)).

Комплексное число z=1+i представляется в тригонометрической форме как z=√2(cos(π/4) + isin(π/4)).

Конечно, помогу вам преобразовать комплексное число ( z = 1 + i ) в тригонометрическую форму.

Комплексное число можно представить в тригонометрической форме как: [ z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi), ] где ( r ) – модуль комплексного числа, а ( \varphi ) – аргумент комплексного числа (угол в полярных координатах).

1. Найдем модуль ( r ) комплексного числа ( z = 1 + i ): [ r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}. ]

2. Найдем аргумент ( \varphi ): Аргумент ( \varphi ) можно найти по формуле: [ \tan \varphi = \frac{\text{Им}(z)}{\text{Ре}(z)} = \frac{1}{1} = 1. ] Значит, ( \varphi = \frac{\pi}{4} ) (поскольку тангенс угла ( \frac{\pi}{4} ) равен 1, и угол находится в первой четверти, где как реальная, так и мнимая части положительны).

Теперь, используя найденные значения ( r ) и ( \varphi ), представим комплексное число в тригонометрической форме: [ z = \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right). ]

Итак, комплексное число ( z = 1 + i ) в тригонометрической форме записывается как ( \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) ). Это удобная форма для выполнения операций умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел.