ПОМОГИТЕ СРОЧНО sin 225*cos120*tg330*ctg240

Давайте разберем выражение ( \sin 225^\circ \cdot \cos 120^\circ \cdot \tan 330^\circ \cdot \cot 240^\circ ) шаг за шагом.

1. Находим значения тригонометрических функций.

   • ( \sin 225^\circ ): Поскольку ( 225^\circ = 180^\circ + 45^\circ ), мы можем записать: [ \sin 225^\circ = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

   • ( \cos 120^\circ ): Поскольку ( 120^\circ = 180^\circ - 60^\circ ), мы имеем: [ \cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} ]

   • ( \tan 330^\circ ): Поскольку ( 330^\circ = 360^\circ - 30^\circ ), получаем: [ \tan 330^\circ = -\tan 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} ]

   • ( \cot 240^\circ ): Поскольку ( 240^\circ = 180^\circ + 60^\circ ), мы имеем: [ \cot 240^\circ = -\cot 60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} ]

2. Подставляем найденные значения в выражение: Теперь подставим все значения в исходное выражение: [ \sin 225^\circ \cdot \cos 120^\circ \cdot \tan 330^\circ \cdot \cot 240^\circ = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) ]

3. Упрощаем выражение: Теперь упрощаем: [ = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) ] Обратите внимание, что у нас четыре отрицательных знака, что даст положительный результат: [ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} ]

   Упрощаем дальше: [ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{2}}{12} ]

Таким образом, окончательный ответ: [ \sin 225^\circ \cdot \cos 120^\circ \cdot \tan 330^\circ \cdot \cot 240^\circ = \frac{\sqrt{2}}{12} ]

Давайте разберем выражение ( \sin 225^\circ \cdot \cos 120^\circ \cdot \tan 330^\circ \cdot \cot 240^\circ ) последовательно, шаг за шагом.

Напомним основные тригонометрические свойства и значения:

1. Значения углов:

   • Тригонометрические функции периодичны, поэтому углы можно приводить к значениям первой окружности (от 0° до 360°).
   • ( \sin(-x) = -\sin(x) ), ( \cos(-x) = \cos(x) ), ( \tan(-x) = -\tan(x) ), ( \cot(-x) = -\cot(x) ).

2. Основные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов:

   • ( \sin(0^\circ) = 0, \; \sin(90^\circ) = 1, \; \sin(180^\circ) = 0, \; \sin(270^\circ) = -1 )
   • ( \cos(0^\circ) = 1, \; \cos(90^\circ) = 0, \; \cos(180^\circ) = -1, \; \cos(270^\circ) = 0 )
   • ( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}, \; \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} ), где ( \cos(x) \neq 0 ) и ( \sin(x) \neq 0 ).

Теперь вычислим каждую функцию:

1. ( \sin 225^\circ )

Угол ( 225^\circ ) находится в третьей четверти. В третьей четверти синус отрицателен.

• Приведем угол: ( 225^\circ = 180^\circ + 45^\circ ).
• Используем формулу приведения: ( \sin(180^\circ + x) = -\sin(x) ).
• ( \sin 225^\circ = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} ).

2. ( \cos 120^\circ )

Угол ( 120^\circ ) находится во второй четверти. Во второй четверти косинус отрицателен.

• Приведем угол: ( 120^\circ = 90^\circ + 30^\circ ).
• Используем формулу приведения: ( \cos(90^\circ + x) = -\sin(x) ).
• ( \cos 120^\circ = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2} ).

3. ( \tan 330^\circ )

Угол ( 330^\circ ) находится в четвертой четверти. В четвертой четверти тангенс отрицателен.

• Приведем угол: ( 330^\circ = 360^\circ - 30^\circ ).
• Используем формулу приведения: ( \tan(360^\circ - x) = -\tan(x) ).
• ( \tan 330^\circ = -\tan 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} ).

4. ( \cot 240^\circ )

Угол ( 240^\circ ) находится в третьей четверти. В третьей четверти котангенс положителен.

• Приведем угол: ( 240^\circ = 180^\circ + 60^\circ ).
• Используем формулу приведения: ( \cot(180^\circ + x) = \cot(x) ).
• ( \cot 240^\circ = \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} ).

Подставим все значения в исходное выражение:

[ \sin 225^\circ \cdot \cos 120^\circ \cdot \tan 330^\circ \cdot \cot 240^\circ = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} ]

Упростим выражение:

1. Перемножим числители: [ (-\sqrt{2})(-1)(-\sqrt{3})(1) = -\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = -\sqrt{6}. ]

2. Перемножим знаменатели: [ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{3}. ]

Итак, результат: [ \frac{-\sqrt{6}}{12\sqrt{3}} ]

Упростим дробь:

Умножим числитель и знаменатель на ( \sqrt{3} ), чтобы убрать иррациональность в знаменателе: [ \frac{-\sqrt{6}}{12\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{18}}{36} = \frac{-3\sqrt{2}}{36} = \frac{-\sqrt{2}}{12}. ]

Окончательный ответ:

[ \boxed{\frac{-\sqrt{2}}{12}} ]