после каждой стирки кусок мыла уменьшается на 20%.После скольких стирок он уменьшится не меньше,чем на треть?
после каждой стирки кусок мыла уменьшается на 20%.После скольких стирок он уменьшится не меньше,чем на треть?
Рассмотрим задачу на уменьшение объема мыла после каждой стирки.
Каждая стирка уменьшает кусок мыла на 20%. Нужно определить, после какого количества стирок объем мыла уменьшится на треть или больше.
Начальные данные:
Условие задачи: Кусок мыла должен уменьшиться на треть или больше, то есть масса мыла должна стать меньше или равна ( \frac{2}{3} ) исходной массы (( M_0 \cdot \frac{2}{3} )). В числовом выражении: [ M_n \leq \frac{2}{3} ]
Формула массы после ( n )-й стирки: После ( n )-й стирки масса мыла равна: [ M_n = M_0 \cdot (0.8)^n ] Подставляя начальную массу ( M_0 = 1 ), получаем: [ M_n = (0.8)^n ]
Неравенство: Подставляем условие ( (0.8)^n \leq \frac{2}{3} ). Чтобы найти ( n ), используем логарифмы: [ \log((0.8)^n) \leq \log\left(\frac{2}{3}\right) ] Раскрывая логарифм степени: [ n \cdot \log(0.8) \leq \log\left(\frac{2}{3}\right) ] Делим обе стороны на ( \log(0.8) ). Заметим, что ( \log(0.8) < 0 ), поэтому знак неравенства поменяется: [ n \geq \frac{\log\left(\frac{2}{3}\right)}{\log(0.8)} ]
Вычисления:
Вычислим ( \log\left(\frac{2}{3}\right) ). Используем логарифм по основанию 10: [ \log\left(\frac{2}{3}\right) = \log(2) - \log(3) ] Приближённо: ( \log(2) \approx 0.301 ), ( \log(3) \approx 0.477 ), значит: [ \log\left(\frac{2}{3}\right) \approx 0.301 - 0.477 = -0.176 ]
Вычислим ( \log(0.8) ). Приближённо: [ \log(0.8) \approx -0.097 ]
Подставляем значения: [ n \geq \frac{-0.176}{-0.097} \approx 1.81 ]
Округление: ( n ) должно быть целым числом (количество стирок). Поэтому округляем ( n ) вверх: ( n = 2 ).
После двух стирок кусок мыла уменьшится не меньше, чем на треть. Проверим:
Таким образом, на второй стирке уменьшение составляет более трети.
Чтобы решить задачу, давайте обозначим начальную массу мыла как ( M ). После каждой стирки кусок мыла уменьшается на 20%, что означает, что после первой стирки останется 80% от его первоначальной массы.
После первой стирки масса мыла будет:
[ M_1 = M \times 0.8 ]
После второй стирки масса мыла станет:
[ M_2 = M_1 \times 0.8 = M \times 0.8^2 ]
После третьей стирки:
[ M_3 = M_2 \times 0.8 = M \times 0.8^3 ]
Таким образом, после ( n ) стирок масса мыла будет равна:
[ M_n = M \times 0.8^n ]
Теперь нам нужно определить, когда уменьшение массы мыла составит не менее трети от начальной массы. То есть, мы ищем ( n ), при котором:
[ M - M_n \geq \frac{M}{3} ]
Подставим ( M_n ):
[ M - (M \times 0.8^n) \geq \frac{M}{3} ]
Упростим это уравнение, разделив обе стороны на ( M ) (при условии, что ( M > 0 )):
[ 1 - 0.8^n \geq \frac{1}{3} ]
Теперь перенесем ( 0.8^n ) в другую сторону:
[ 1 - \frac{1}{3} \geq 0.8^n ]
Это можно упростить до:
[ \frac{2}{3} \geq 0.8^n ]
Теперь можем записать это неравенство в более удобной форме:
[ 0.8^n \leq \frac{2}{3} ]
Чтобы решить это неравенство, воспользуемся логарифмами:
[ n \log(0.8) \leq \log\left(\frac{2}{3}\right) ]
Поскольку ( \log(0.8) < 0 ), мы можем изменить знак неравенства, при этом меняя его направление:
[ n \geq \frac{\log\left(\frac{2}{3}\right)}{\log(0.8)} ]
Теперь подставим значения логарифмов (в любой логарифмической базе):
[ \log\left(\frac{2}{3}\right) \approx -0.1761 ] [ \log(0.8) \approx -0.09691 ]
Теперь подставим эти значения в формулу:
[ n \geq \frac{-0.1761}{-0.09691} \approx 1.818 ]
Так как ( n ) должно быть целым числом, округляем в большую сторону. Таким образом, ( n = 2 ).
Ответ: Кусок мыла уменьшится не меньше, чем на треть, после 2 стирок.
