Построить график функции у=2х^2-8x+6 указать промежутки возрастания и убывания

Для построения графика функции ( y = 2x^2 - 8x + 6 ) и определения ее свойств, таких как промежутки возрастания и убывания, следуем следующим шагам.

1. Исследуем функцию

Функция ( y = 2x^2 - 8x + 6 ) является квадратичной функцией, графиком которой является парабола. Коэффициент при ( x^2 ) равен 2, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем вершину параболы

Вершина параболы находится в точке, где производная функции равна нулю. Найдем производную:

[ y' = \frac{d}{dx}(2x^2 - 8x + 6) = 4x - 8. ]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

[ 4x - 8 = 0 ]

[ 4x = 8 ]

[ x = 2. ]

Теперь подставим ( x = 2 ) в исходное уравнение, чтобы найти координату ( y ) вершины:

[ y = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2. ]

Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (2, -2) ).

3. Определим промежутки возрастания и убывания

Поскольку производная ( y' = 4x - 8 ), она меняет знак в точке ( x = 2 ):

• Для ( x < 2 ) производная ( 4x - 8 < 0 ), следовательно, функция убывает.
• Для ( x > 2 ) производная ( 4x - 8 > 0 ), следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция убывает на промежутке ( (-\infty, 2) ) и возрастает на промежутке ( (2, +\infty) ).

4. Построение графика

1. Вершина: ( (2, -2) ).
2. Ось симметрии: вертикальная прямая ( x = 2 ).
3. Пересечение с осью ( y ): Подставим ( x = 0 ) в уравнение: ( y = 6 ). Значит, точка пересечения с осью ( y ) — ( (0, 6) ).
4. Пересечения с осью ( x ): Решим уравнение ( 2x^2 - 8x + 6 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 64 - 48 = 16. ] [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 4}{4}. ] Таким образом, корни: ( x_1 = 3 ) и ( x_2 = 1 ). Пересечения с осью ( x ) — точки ( (1, 0) ) и ( (3, 0) ).

Теперь у нас есть достаточно информации для построения графика. График будет выглядеть как парабола с вершиной в точке ( (2, -2) ), которая убывает на ( (-\infty, 2) ) и возрастает на ( (2, +\infty) ), пересекается с осью ( y ) в точке ( (0, 6) ) и с осью ( x ) в точках ( (1, 0) ) и ( (3, 0) ).

Для построения графика функции y=2x^2-8x+6 сначала необходимо найти вершину параболы. Для этого используем формулу x=-b/2a, где a=2, b=-8.

x = -(-8)/(2*2) = 8/4 = 2

Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, 22^2-82+6) = (2, -2).

Теперь определим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого найдем производную функции y'=4x-8 и выясним, при каких значениях x производная положительна (функция возрастает) или отрицательна (функция убывает).

Когда y'>0, функция возрастает: 4x-8 > 0 x > 2

Когда y'