Постройте график функции у=(х2+1)(х+2)/ -2-х и определите при каких значениях К прямая у=кх имеет с...

Для того чтобы у=кх имела ровно одну общую точку с графиком функции у=(х2+1)(х+2)/ -2-х, необходимо и достаточно, чтобы прямая y=kx касалась графика функции в одной точке. Для этого нужно найти значение k при котором уравнение у=кх имеет единственное решение.

Чтобы построить график функции ( y = \frac{(x^2 + 1)(x + 2)}{-2 - x} ) и определить при каких значениях ( k ) прямая ( y = kx ) имеет с графиком ровно одну общую точку, выполним следующие шаги:

1. Упрощение функции

Исходная функция: [ y = \frac{(x^2 + 1)(x + 2)}{-2 - x} ]

Заметим, что выражение в знаменателе можно упростить, если рассматривать его как ( -2 - x = -(x + 2) ). Тогда функция примет вид: [ y = \frac{(x^2 + 1)(x + 2)}{-(x + 2)} = -(x^2 + 1) ] где ( x \neq -2 ), так как при ( x = -2 ) знаменатель обращается в ноль, и функция не определена.

2. Построение графика функции ( y = -(x^2 + 1) )

Это парабола, отраженная относительно оси ( x ) и сдвинутая вниз на 1. Вершина параболы находится в точке ( (0, -1) ), ветви параболы направлены вниз. Также есть вертикальная асимптота ( x = -2 ).

3. Исследование на количество точек пересечения с прямой ( y = kx )

Для того чтобы прямая ( y = kx ) имела ровно одну точку пересечения с графиком функции, необходимо, чтобы она касалась параболы. Это произойдет, когда дискриминант квадратного уравнения, полученного после приравнивания ( kx ) к ( -(x^2 + 1) ), будет равен нулю: [ kx = -(x^2 + 1) ] [ x^2 + kx + 1 = 0 ]

Для этого уравнения дискриминант ( D ) должен быть равен 0: [ D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0 ] [ k^2 = 4 ] [ k = \pm 2 ]

4. Вывод

Прямая ( y = kx ) имеет с графиком функции ( y = -(x^2 + 1) ) ровно одну общую точку при ( k = \pm 2 ).

Для начала построим график функции у=(х^2+1)(х+2)/(-2-x). Для этого найдем ее точки пересечения с осями координат.

Когда у=0, то (х^2+1)(х+2)/(-2-x) = 0. Решая это уравнение, получаем, что х=-1 и х=-2. Таким образом, получаем точки пересечения с осями координат: (-1,0) и (-2,0).

Теперь определим значения К, при которых прямая у=кх имеет ровно одну общую точку с графиком функции у=(х^2+1)(х+2)/(-2-x). Для этого подставим у=кх в у=(х^2+1)(х+2)/(-2-x) и найдем их общие точки.

Получаем уравнение кх=(х^2+1)(х+2)/(-2-x). Упростим его: к=-х(x+2)/(x^2+1).

Найдем общие точки графиков у=(х^2+1)(х+2)/(-2-x) и у=кх, подставляя у=кх в у=(х^2+1)(х+2)/(-2-x). Получаем к=-х(x+2)/(x^2+1), что равно (x^2+1)(x+2)/(-2-x).

Решая это уравнение, найдем значения x, при которых прямая у=кх имеет ровно одну общую точку с графиком функции у=(х^2+1)(х+2)/(-2-x).

Таким образом, искомые значения К будут теми значениями k, при которых уравнение к=-х(x+2)/(x^2+1) имеет только одно решение.