Постройте график функции y=x^2-|6x+1| и определите при каких значениях прямая y=m имеет с графиком ровно...

Чтобы построить график функции ( y = x^2 - |6x + 1| ) и определить, при каких значениях прямая ( y = m ) имеет с графиком ровно 3 общие точки, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Анализ функции

Функция ( y = x^2 - |6x + 1| ) состоит из двух частей: квадратичной ( x^2 ) и модуля ( |6x + 1| ). Чтобы упростить задачу, рассмотрим два случая для модуля:

Случай 1: ( 6x + 1 \geq 0 )

Здесь модуль раскрывается как ( |6x + 1| = 6x + 1 ). Тогда функция принимает вид: [ y = x^2 - (6x + 1) = x^2 - 6x - 1. ]

Случай 2: ( 6x + 1 < 0 )

Здесь модуль раскрывается как ( |6x + 1| = -(6x + 1) = -6x - 1 ). Тогда функция принимает вид: [ y = x^2 + 6x + 1. ]

2. Критические точки

Переход между двумя случаями происходит при ( 6x + 1 = 0 ), то есть при ( x = -\frac{1}{6} ).

3. Построение графика

Теперь нужно построить две параболы:

• ( y = x^2 - 6x - 1 ) для ( x \geq -\frac{1}{6} )
• ( y = x^2 + 6x + 1 ) для ( x < -\frac{1}{6} )

Эти две параболы соединяются в точке ( x = -\frac{1}{6} ).

4. Найдите точки пересечения с прямой ( y = m )

Чтобы прямая ( y = m ) имела с графиком ровно 3 общие точки, можно предположить, что одна из парабол пересекается дважды, а другая — один раз.

Для ( y = x^2 - 6x - 1 = m ):

Решим уравнение: [ x^2 - 6x - 1 = m ] [ x^2 - 6x - (1 + m) = 0 ]

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по формуле: [ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4(1 + m)}}{2} ] [ x = \frac{6 \pm \sqrt{40 + 4m}}{2} ] [ x = 3 \pm \sqrt{10 + m} ]

Для того чтобы было два различных корня, ( 10 + m > 0 ), что дает ( m > -10 ).

Для ( y = x^2 + 6x + 1 = m ):

Решим уравнение: [ x^2 + 6x + 1 = m ] [ x^2 + 6x + (1 - m) = 0 ]

Корни: [ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(1 - m)}}{2} ] [ x = \frac{-6 \pm \sqrt{32 + 4m}}{2} ] [ x = -3 \pm \sqrt{8 + m} ]

Для того чтобы был один корень (точка касания), дискриминант должен быть равен нулю: [ 8 + m = 0 ] [ m = -8 ]

Заключение

Таким образом, прямая ( y = m ) имеет с графиком функции ( y = x^2 - |6x + 1| ) ровно 3 общие точки, если ( m = -8 ).

Для построения графика функции y=x^2-|6x+1| необходимо разбить функцию на две части: одна для x>=-1/6 и вторая для x=-1/6: y=x^2-(6x+1)=x^2-6x-1

1. При x

Для того чтобы прямая y=m имела с графиком функции y=x^2-|6x+1| ровно 3 общие точки, значение m должно лежать в интервале от -1 до 27.