Постройте график функции y=-x^2+6x-5. Пользуясь графиком, найдите: 1) промежуток убывания функции; 2)...

1) Функция убывает на интервале x от 1 до 3. 2) Функция принимает отрицательные значения при x от 1 до 3.

Для построения графика функции ( y = -x^2 + 6x - 5 ) и анализа её свойств, начнем с определения её критических точек и формы.

1. Вершина параболы: Функция представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при ( x^2 ) отрицательный. Координаты вершины параболы можно найти по формулам:

   • ( x_0 = -\frac{b}{2a} )
   • ( y_0 = -\frac{D}{4a} ) Где ( a = -1 ), ( b = 6 ), и ( D = b^2 - 4ac ) (дискриминант квадратного уравнения).

   Подставим значения:

   • ( x_0 = -\frac{6}{2 \times (-1)} = 3 )
   • ( D = 6^2 - 4 \times (-1) \times (-5) = 36 - 20 = 16 )
   • ( y_0 = -\frac{16}{4 \times (-1)} = 4 )

   Таким образом, вершина параболы находится в точке (3, 4).

2. Нули функции: Чтобы найти точки пересечения графика с осью X, решим уравнение ( -x^2 + 6x - 5 = 0 ):

   • Используя формулу корней квадратного уравнения ( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ):
     • ( x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{-2} = \frac{-6 \pm 4}{-2} )
     • ( x_1 = 1 ), ( x_2 = 5 )

   Таким образом, парабола пересекает ось X в точках ( x = 1 ) и ( x = 5 ).

Ответы на вопросы:

1. Промежуток убывания функции: Поскольку вершина параболы является максимальной точкой и ветви направлены вниз, функция возрастает на промежутке от (-\infty) до 3 и убывает на промежутке от 3 до (+\infty). Таким образом, промежуток убывания функции — это ( [3, +\infty) ).

2. Значения ( x ), при которых функция принимает отрицательные значения: Функция принимает отрицательные значения там, где график находится ниже оси X. Из пункта о нулях функции известно, что между точками ( x = 1 ) и ( x = 5 ) функция положительна. Следовательно, функция принимает отрицательные значения на интервалах ( (-\infty, 1) ) и ( (5, +\infty) ).

1) Для того чтобы найти промежуток убывания функции, нужно определить, где функция убывает на графике. График функции y=-x^2+6x-5 представляет собой параболу, которая открывается вниз. Таким образом, функция будет убывать на всей области определения, то есть на всем промежутке (-∞, +∞).

2) Чтобы найти значения x, при которых функция принимает отрицательные значения, нужно найти точки пересечения графика функции с осью x. Для функции y=-x^2+6x-5 уравнение y=0 будет иметь два корня. Решив уравнение -x^2+6x-5=0, получим x=1 и x=5. Таким образом, функция принимает отрицательные значения при x на интервалах (1, 5).