Постройте график y=(x+2)^2-4Укажите область определенияНули Промежутки знакопостоянства Промежутки возрастания...

Для начала упростим функцию ( y = (x+2)^2 - 4 ). Раскроем квадрат: [ y = (x+2)^2 - 4 = x^2 + 4x + 4 - 4 = x^2 + 4x. ]

Область определения функции – множество всех допустимых значений переменной x. Для квадратичной функции ( y = x^2 + 4x ) переменная x может принимать любые значения. Следовательно, область определения функции: ( D(y) = (-\infty, +\infty) ).

Нули функции – это значения x, при которых ( y = 0 ): [ x^2 + 4x = 0 ] [ x(x + 4) = 0 ] Отсюда получаем ( x = 0 ) или ( x = -4 ). Таким образом, нули функции: x = 0 и x = -4.

Промежутки знакопостоянства – это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (положительный или отрицательный):

1. ( x^2 + 4x > 0 ) при ( x \in (-\infty, -4) \cup (0, +\infty) )
2. ( x^2 + 4x < 0 ) при ( x \in (-4, 0) )

Промежутки возрастания и убывания: Дифференцируем функцию, чтобы найти производную: [ y' = 2x + 4 ]

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки: [ 2x + 4 = 0 ] [ x = -2 ]

Проверяем знак производной на интервалах:

• При ( x < -2 ), производная отрицательная (( y' < 0 )), значит функция убывает.
• При ( x > -2 ), производная положительная (( y' > 0 )), значит функция возрастает.

Таким образом:

• Функция убывает на интервале ( (-\infty, -2) )
• Функция возрастает на интервале ( (-2, +\infty) )

Область изменения функции: Функция достигает своего минимального значения в вершине параболы ( x = -2 ). Подставляем этот x в функцию: [ y = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4 ] Так как это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при ( x^2 ) положительный), максимальное значение ( y ) не ограничено сверху. Таким образом, область изменения функции: ( E(y) = [-4, +\infty) ).

График функции: Функция ( y = x^2 + 4x ) представляет собой параболу с вершиной в точке ( x = -2 ), сдвинутую вниз на 4 единицы. Вершина этой параболы находится в точке ( (-2, -4) ). График проходит через точки ( (-4, 0) ) и ( (0, 0) ), где функция пересекает ось x.

График функции y=(x+2)^2-4 представляет собой параболу, смещенную влево на 2 единицы и вниз на 4 единицы.

Область определения функции: x принадлежит множеству всех действительных чисел.

Нули функции: (x+2)^2-4 = 0 (x+2)^2 = 4 x+2 = ±2 x = -2 ± 2 x1 = 0, x2 = -4

Промежутки знакопостоянства: Функция положительна на интервалах (-бесконечность, -4) и (0, +бесконечность), и отрицательна на интервале (-4, 0).

Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на интервале (-бесконечность, -2) и убывает на интервале (-2, +бесконечность).

Область изменения функции: y принадлежит множеству всех действительных чисел, y >= -4.