Постройте полный граф с 6 вершинами, сколько рёбер он будет содержать?

Для решения задачи о количестве рёбер в полном графе с 6 вершинами давайте разберёмся с основными понятиями и формулой.

Определение полного графа

Полный граф — это граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром. Другими словами, в полном графе все вершины соединены между собой. Обозначение полного графа с ( n ) вершинами — это ( K_n ).

Формула для количества рёбер

Для полного графа ( K_n ) количество рёбер можно вычислить по формуле: [ E = \frac{n(n-1)}{2}, ] где:

• ( n ) — количество вершин графа,
• ( E ) — количество рёбер.

Формула объясняется тем, что каждая вершина соединена рёбрами с ( n-1 ) другими вершинами, но при этом каждое ребро учитывается дважды (один раз для каждой вершины). Поэтому результат делится на 2.

Подставим ( n = 6 ) в формулу

Для графа с 6 вершинами (( K_6 )) подставим ( n = 6 ) в формулу: [ E = \frac{6(6-1)}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = \frac{30}{2} = 15. ]

Ответ

Полный граф с 6 вершинами содержит 15 рёбер.

Проверка вручную

Можно также убедиться в правильности результата, перечислив все возможные соединения:

• Каждая из 6 вершин соединяется с 5 другими вершинами.
• Общее количество таких соединений (( 6 \cdot 5 = 30 )) включает каждое ребро дважды, поэтому делим на 2: [ \frac{30}{2} = 15. ]

Таким образом, вручную мы также пришли к тому, что граф содержит 15 рёбер.

Визуализация

Если вы попробуете нарисовать ( K_6 ), вы увидите, что у каждой вершины будет 5 рёбер, и в сумме получится 15 уникальных рёбер.

Полный граф — это такой граф, в котором каждая пара различных вершин соединена ребром. Полный граф с ( n ) вершинами обозначается как ( K_n ).

Для нахождения числа рёбер в полном графе с ( n ) вершинами можно воспользоваться формулой:

[ E = \frac{n(n - 1)}{2} ]

где ( E ) — количество рёбер, а ( n ) — количество вершин.

В вашем случае, ( n = 6 ). Подставим это значение в формулу:

[ E = \frac{6(6 - 1)}{2} ]

Сначала вычислим ( 6 - 1 ):

[ 6 - 1 = 5 ]

Теперь подставим обратно в формулу:

[ E = \frac{6 \times 5}{2} ]

Умножим ( 6 ) на ( 5 ):

[ 6 \times 5 = 30 ]

Теперь делим на ( 2 ):

[ E = \frac{30}{2} = 15 ]

Таким образом, полный граф с 6 вершинами ( K_6 ) будет содержать 15 рёбер.

Дополнительные пояснения:

1. Геометрическая интерпретация: В полном графе с 6 вершинами каждая вершина соединяется с каждой другой вершиной. Если вы представите 6 точек на плоскости, то каждая из них будет соединена с 5 другими, что и приводит к большому количеству рёбер.

2. Комбинаторный подход: Также можно рассмотреть количество рёбер как количество способов выбрать 2 вершины из 6 для формирования ребра. Это можно выразить с помощью биномиального коэффициента:

[ E = C(n, 2) = \frac{n!}{2!(n-2)!} ]

Для ( n = 6 ):

[ C(6, 2) = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 ]

Таким образом, мы снова получаем, что полный граф с 6 вершинами содержит 15 рёбер.

В полном графе с ( n ) вершинами количество рёбер можно вычислить по формуле ( \frac{n(n-1)}{2} ). Для 6 вершин это будет:

[ \frac{6(6-1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15. ]

Таким образом, полный граф с 6 вершинами будет содержать 15 рёбер.