Пожалуйста решите подробнее Векторы A и B взаимно перпендикулярны, а вектор C образует с каждым из них...

Для решения задачи использую свойства векторов, скалярного произведения и тригонометрии. Распишем решение подробно.

Дано:

1. ( \mathbf{A} ) и ( \mathbf{B} ) — взаимно перпендикулярные векторы, т.е. ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 0 );
2. Вектор ( \mathbf{C} ) образует угол ( 60^\circ ) с каждым из векторов ( \mathbf{A} ) и ( \mathbf{B} );
3. ( |\mathbf{A}| = 3 ), ( |\mathbf{B}| = 5 ), ( |\mathbf{C}| = 8 );
4. Требуется найти скалярное произведение ( (3\mathbf{A} - 2\mathbf{B}) \cdot (\mathbf{B} + 3\mathbf{C}) ).

Шаг 1. Раскрываем скалярное произведение

Распишем выражение ( (3\mathbf{A} - 2\mathbf{B}) \cdot (\mathbf{B} + 3\mathbf{C}) ) по распределительному закону: [ (3\mathbf{A} - 2\mathbf{B}) \cdot (\mathbf{B} + 3\mathbf{C}) = 3\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + 9\mathbf{A} \cdot \mathbf{C} - 2\mathbf{B} \cdot \mathbf{B} - 6\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}. ]

Теперь разберем каждый член этого выражения по отдельности.

Шаг 2. Вычисление каждого слагаемого

1. ( 3\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} )

Так как ( \mathbf{A} ) и ( \mathbf{B} ) перпендикулярны (( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 0 )), то: [ 3\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 0. ]

2. ( 9\mathbf{A} \cdot \mathbf{C} )

Используем формулу для скалярного произведения: [ \mathbf{A} \cdot \mathbf{C} = |\mathbf{A}| |\mathbf{C}| \cos\theta, ] где ( \theta = 60^\circ ). Подставляем значения: [ \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad |\mathbf{A}| = 3, \quad |\mathbf{C}| = 8. ] Тогда: [ \mathbf{A} \cdot \mathbf{C} = 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 12. ] Умножаем на 9: [ 9\mathbf{A} \cdot \mathbf{C} = 9 \cdot 12 = 108. ]

3. ( -2\mathbf{B} \cdot \mathbf{B} )

Используем свойство, что ( \mathbf{B} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{B}|^2 ). Так как ( |\mathbf{B}| = 5 ), то: [ \mathbf{B} \cdot \mathbf{B} = 5^2 = 25. ] Умножаем на (-2): [ -2\mathbf{B} \cdot \mathbf{B} = -2 \cdot 25 = -50. ]

4. ( -6\mathbf{B} \cdot \mathbf{C} )

Аналогично ( \mathbf{A} \cdot \mathbf{C} ), используем формулу скалярного произведения: [ \mathbf{B} \cdot \mathbf{C} = |\mathbf{B}| |\mathbf{C}| \cos\theta, ] где ( \theta = 60^\circ ). Подставляем значения: [ \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad |\mathbf{B}| = 5, \quad |\mathbf{C}| = 8. ] Тогда: [ \mathbf{B} \cdot \mathbf{C} = 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 20. ] Умножаем на (-6): [ -6\mathbf{B} \cdot \mathbf{C} = -6 \cdot 20 = -120. ]

Шаг 3. Суммируем все слагаемые

Теперь подставляем всё в исходное выражение: [ (3\mathbf{A} - 2\mathbf{B}) \cdot (\mathbf{B} + 3\mathbf{C}) = 0 + 108 - 50 - 120. ] Считаем: [ 0 + 108 - 50 - 120 = -62. ]

Ответ:

[ (3\mathbf{A} - 2\mathbf{B}) \cdot (\mathbf{B} + 3\mathbf{C}) = -62. ]

Для решения задачи начнем с формул для скалярного произведения векторов и свойств углов между ними. Векторы ( A ) и ( B ) взаимно перпендикулярны, что означает, что их скалярное произведение равно нулю:

[ A \cdot B = 0 ]

Вектор ( C ) образует угол 60° с каждым из векторов ( A ) и ( B ). Скалярное произведение вектора ( C ) с вектором ( A ) и вектором ( B ) можно выразить через длины векторов и косинус угла между ними:

[ C \cdot A = |C| |A| \cos(60^\circ) = |C| |A| \cdot \frac{1}{2} = 8 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 12 ]

[ C \cdot B = |C| |B| \cos(60^\circ) = |C| |B| \cdot \frac{1}{2} = 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 20 ]

Теперь можем вычислить скалярное произведение ( (3A - 2B) \cdot (B + 3C) ) по формуле распределительного свойства скалярного произведения:

[ (3A - 2B) \cdot (B + 3C) = 3A \cdot B + 9A \cdot C - 2B \cdot B - 6B \cdot C ]

Сначала вычислим каждое из скалярных произведений:

1. ( 3A \cdot B = 3 \cdot 0 = 0 ) (поскольку ( A \cdot B = 0 ))
2. ( 9A \cdot C = 9 \cdot 12 = 108 )
3. ( -2B \cdot B = -2 \cdot |B|^2 = -2 \cdot 5^2 = -50 )
4. ( -6B \cdot C = -6 \cdot 20 = -120 )

Теперь подставляем все найденные значения обратно в выражение:

[ (3A - 2B) \cdot (B + 3C) = 0 + 108 - 50 - 120 ]

Теперь вычислим итог:

[ 0 + 108 - 50 - 120 = 108 - 50 - 120 = 108 - 170 = -62 ]

Таким образом, скалярное произведение ( (3A - 2B) \cdot (B + 3C) ) равно (-62).