Пожалуйста срочно срочно надо докажите abc day квадрат если a(-2 1 -2) b(0 -2 4) c(3 4 6) d(1 7 0)
Пожалуйста срочно срочно надо докажите abc day квадрат если a(-2 1 -2) b(0 -2 4) c(3 4 6) d(1 7 0)
Чтобы доказать, что четыре точки ( A(-2, 1, -2) ), ( B(0, -2, 4) ), ( C(3, 4, 6) ), ( D(1, 7, 0) ) лежат в одной плоскости (то есть их объем образуемого тетраэдра равен нулю), нужно рассмотреть векторное и скалярное произведения. Расширенный ответ объясняет процесс пошагово.
Четыре точки ( A ), ( B ), ( C ), ( D ) лежат в одной плоскости, если вектор ( \overrightarrow{AB} ), ( \overrightarrow{AC} ) и ( \overrightarrow{AD} ) линейно зависимы. Для проверки этого факта мы вычислим смешанное произведение векторов: [ [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}. ] Если результат равен нулю, то точки лежат в одной плоскости.
Вычислим координаты векторов ( \overrightarrow{AB} ), ( \overrightarrow{AC} ), ( \overrightarrow{AD} ): [ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - (-2), -2 - 1, 4 - (-2)) = (2, -3, 6), ] [ \overrightarrow{AC} = C - A = (3 - (-2), 4 - 1, 6 - (-2)) = (5, 3, 8), ] [ \overrightarrow{AD} = D - A = (1 - (-2), 7 - 1, 0 - (-2)) = (3, 6, 2). ]
Напомним формулу векторного произведения векторов ( \overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3) ) и ( \overrightarrow{v} = (v_1, v_2, v_3) ): [ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ u_1 & u_2 & u_3 \ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}, ] где ( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} ) — орты осей ( x ), ( y ), ( z ).
Подставим ( \overrightarrow{AB} = (2, -3, 6) ) и ( \overrightarrow{AC} = (5, 3, 8) ): [ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 2 & -3 & 6 \ 5 & 3 & 8 \end{vmatrix}. ]
Раскроем определитель: [ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} -3 & 6 \ 3 & 8 \end{vmatrix}
Найдем миноры:
Подставим: [ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i}(-42) - \mathbf{j}(-14) + \mathbf{k}(21), ] [ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-42, 14, 21). ]
Теперь вычислим скалярное произведение ( (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} ). Напомним, что скалярное произведение ( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} ) вычисляется как: [ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3. ]
Подставим ( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-42, 14, 21) ) и ( \overrightarrow{AD} = (3, 6, 2) ): [ (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} = (-42)(3) + (14)(6) + (21)(2). ]
Вычислим: [ (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} = -126 + 84 + 42 = 0. ]
Смешанное произведение равно нулю: [ [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = 0. ] Это означает, что векторы ( \overrightarrow{AB} ), ( \overrightarrow{AC} ), ( \overrightarrow{AD} ) линейно зависимы, а точки ( A ), ( B ), ( C ), ( D ) лежат в одной плоскости.
Таким образом, доказано, что точки ( A(-2, 1, -2) ), ( B(0, -2, 4) ), ( C(3, 4, 6) ), ( D(1, 7, 0) ) лежат в одной плоскости.
Чтобы доказать, что точки ( A(-2, 1, -2) ), ( B(0, -2, 4) ), ( C(3, 4, 6) ) и ( D(1, 7, 0) ) образуют квадрат, необходимо проверить несколько условий.
Для начала вычислим расстояния между каждой парой точек. Расстояние между двумя точками ( P_1(x_1, y_1, z_1) ) и ( P_2(x_2, y_2, z_2) ) в пространстве вычисляется по формуле:
[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]
[ AB = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (-2 - 1)^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 ]
[ BC = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - (-2))^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{(3)^2 + (6)^2 + (2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7 ]
[ CD = \sqrt{(1 - 3)^2 + (7 - 4)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 ]
[ DA = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (1 - 7)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7 ]
Теперь найдем длины диагоналей ( AC ) и ( BD ).
[ AC = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (4 - 1)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{(5)^2 + (3)^2 + (8)^2} = \sqrt{25 + 9 + 64} = \sqrt{98} ]
[ BD = \sqrt{(1 - 0)^2 + (7 - (-2))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(1)^2 + (9)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 81 + 16} = \sqrt{98} ]
Для того чтобы фигура была квадратом, необходимо, чтобы все стороны были равны, а диагонали также были равны и больше, чем стороны.
Поскольку все стороны равны ( (7) ) и диагонали равны ( (\sqrt{98}) ), можно утверждать, что точки ( A ), ( B ), ( C ) и ( D ) действительно образуют квадрат в трехмерном пространстве. Таким образом, квадрат ABCD доказан.
Чтобы доказать, что точки A(-2, 1, -2), B(0, -2, 4), C(3, 4, 6) и D(1, 7, 0) образуют квадрат, необходимо проверить, что:
Сначала найдем длины сторон:
AB = √[(0 - (-2))^2 + (-2 - 1)^2 + (4 - (-2))^2] = √[2^2 + (-3)^2 + 6^2] = √[4 + 9 + 36] = √49 = 7.
BC = √[(3 - 0)^2 + (4 - (-2))^2 + (6 - 4)^2] = √[3^2 + 6^2 + 2^2] = √[9 + 36 + 4] = √49 = 7.
CD = √[(1 - 3)^2 + (7 - 4)^2 + (0 - 6)^2] = √[(-2)^2 + 3^2 + (-6)^2] = √[4 + 9 + 36] = √49 = 7.
DA = √[(-2 - 1)^2 + (1 - 7)^2 + (-2 - 0)^2] = √[(-3)^2 + (-6)^2 + (-2)^2] = √[9 + 36 + 4] = √49 = 7.
Теперь проверим длины диагоналей:
AC = √[(3 - (-2))^2 + (4 - 1)^2 + (6 - (-2))^2] = √[5^2 + 3^2 + 8^2] = √[25 + 9 + 64] = √98.
BD = √[(1 - 0)^2 + (7 - (-2))^2 + (0 - 4)^2] = √[1^2 + 9^2 + (-4)^2] = √[1 + 81 + 16] = √98.
Поскольку все стороны равны и диагонали равны, можно заключить, что ABCD является квадратом.
