Прямая y=4x+4 является касательной к графику функции y=2x^2-5x+10. найдите абсциссу точки касания
Прямая y=4x+4 является касательной к графику функции y=2x^2-5x+10. найдите абсциссу точки касания
Абсцисса точки касания равна x = 1/2.
Для того чтобы найти абсциссу точки касания, нужно найти точку пересечения прямой и графика функции. Так как прямая y=4x+4 касается графика функции y=2x^2-5x+10, то коэффициент при x в уравнении прямой должен быть равен производной функции в точке касания.
Сначала найдем производную функции y=2x^2-5x+10: y' = 4x - 5
Теперь приравняем коэффициент при x в уравнении прямой к производной функции: 4 = 4x - 5
Решим это уравнение: 4x = 9 x = 9/4
Таким образом, абсцисса точки касания равна 9/4 или 2.25.
Чтобы найти абсциссу точки касания прямой ( y = 4x + 4 ) и графика функции ( y = 2x^2 - 5x + 10 ), необходимо найти такую точку, где график функции и прямая имеют одинаковые значения ( y ) и одинаковые производные, что обеспечит касание.
Уравнение касания:
Прямая ( y = 4x + 4 ) будет касательной к параболе ( y = 2x^2 - 5x + 10 ), если у них есть общая точка с одинаковым значением производной. Это означает, что мы должны решить систему уравнений:
[ 4x + 4 = 2x^2 - 5x + 10 ]
и
[ 4 = 4x - 5 ]
Решение уравнения касания:
Первое уравнение:
[ 4x + 4 = 2x^2 - 5x + 10 ]
Переносим все в одну сторону:
[ 2x^2 - 5x + 10 - 4x - 4 = 0 ]
[ 2x^2 - 9x + 6 = 0 ]
Второе уравнение:
[ 4 = 4x - 5 ]
Решаем второе уравнение для нахождения точки касания:
[ 4x = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{9}{4} ]
Проверка касания:
Подставим ( x = \frac{9}{4} ) в первое уравнение, чтобы убедиться, что это действительно точка касания:
[ 2\left(\frac{9}{4}\right)^2 - 9\left(\frac{9}{4}\right) + 6 = 0 ]
Вычислим:
[ 2 \cdot \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 6 = 0 ]
[ \frac{162}{16} - \frac{324}{16} + \frac{96}{16} = 0 ]
[ \frac{162 - 324 + 96}{16} = 0 ]
[ \frac{0}{16} = 0 ]
Уравнение выполняется, следовательно, ( x = \frac{9}{4} ) действительно является абсциссой точки касания.
Таким образом, абсцисса точки касания прямой ( y = 4x + 4 ) и функции ( y = 2x^2 - 5x + 10 ) равна ( x = \frac{9}{4} ).
