Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23см, а гипотенуза равна 37 см . Найдите площадь...

Для решения задачи используем теорему Пифагора и свойства прямоугольных треугольников.

Обозначим катеты треугольника как $a$ и $b$, причем $a>b$. Тогда по условию задачи известно, что: $a-b=23\text{см}$ $c=37\text{см}$

Теорема Пифагора для данного треугольника имеет вид: $a^2+b^2=c^2$ $a^2+b^2={37}^2$ $a^2+b^2=1369$

Теперь выразим $a$ через $b$: $a=b+23$

Подставим это в уравнение Пифагора: $(b+23{)}^2+b^2=1369$ $b^2+46b+529+b^2=1369$ $2b^2+46b-840=0$

Решим полученное квадратное уравнение: $b^2+23b-420=0$

Используем формулу корней квадратного уравнения: $b=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ $b=\frac{-23\pm \sqrt{{23}^2+4\cdot 420}}{2}$ $b=\frac{-23\pm \sqrt{529+1680}}{2}$ $b=\frac{-23\pm \sqrt{2209}}{2}$ $b=\frac{-23\pm 47}{2}$

Получаем два значения для $b$: $b=12\text{или}b=-35$

Отрицательный результат не имеет смысла в контексте длин сторон треугольника, поэтому $b=12\text{см}$.

Теперь найдем $a$: $a=b+23=12+23=35\text{см}$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S=\frac{1}{2}ab$ $S=\frac{1}{2}\cdot 35\cdot 12=210{\text{см}}^2$

Таким образом, площадь треугольника равна 210 см².

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пусть один катет треугольника равен x, а другой $меньший$ катет равен x - 23. Тогда по теореме Пифагора:

x^2 + $x-23$^2 = 37^2

Раскрываем скобки и преобразуем уравнение:

x^2 + x^2 - 46x + 529 = 1369 2x^2 - 46x - 840 = 0

Далее решаем квадратное уравнение:

D = $-46$^2 - 42$-840$ = 2116 + 6720 = 8836 x1 = $46+\surd 8836$ / 4 = 43 x2 = $46-\surd 8836$ / 4 = -19

Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем x = 43.

Теперь можем найти площадь треугольника, используя формулу S = 0.5 x $x-23$:

S = 0.5 43 $43-23$ = 0.5 43 20 = 430

Ответ: Площадь треугольника равна 430 квадратных сантиметров.