Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23см, а гипотенуза равна 37 см . Найдите площадь...

Для решения задачи используем теорему Пифагора и свойства прямоугольных треугольников.

Обозначим катеты треугольника как ( a ) и ( b ), причем ( a > b ). Тогда по условию задачи известно, что: [ a - b = 23 \, \text{см} ] [ c = 37 \, \text{см} ]

Теорема Пифагора для данного треугольника имеет вид: [ a^2 + b^2 = c^2 ] [ a^2 + b^2 = 37^2 ] [ a^2 + b^2 = 1369 ]

Теперь выразим ( a ) через ( b ): [ a = b + 23 ]

Подставим это в уравнение Пифагора: [ (b + 23)^2 + b^2 = 1369 ] [ b^2 + 46b + 529 + b^2 = 1369 ] [ 2b^2 + 46b - 840 = 0 ]

Решим полученное квадратное уравнение: [ b^2 + 23b - 420 = 0 ]

Используем формулу корней квадратного уравнения: [ b = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] [ b = \frac{-23 \pm \sqrt{23^2 + 4 \cdot 420}}{2} ] [ b = \frac{-23 \pm \sqrt{529 + 1680}}{2} ] [ b = \frac{-23 \pm \sqrt{2209}}{2} ] [ b = \frac{-23 \pm 47}{2} ]

Получаем два значения для ( b ): [ b = 12 \quad \text{или} \quad b = -35 ]

Отрицательный результат не имеет смысла в контексте длин сторон треугольника, поэтому ( b = 12 \, \text{см} ).

Теперь найдем ( a ): [ a = b + 23 = 12 + 23 = 35 \, \text{см} ]

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2}ab ] [ S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 12 = 210 \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь треугольника равна 210 см².

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пусть один катет треугольника равен x, а другой (меньший) катет равен x - 23. Тогда по теореме Пифагора:

x^2 + (x - 23)^2 = 37^2

Раскрываем скобки и преобразуем уравнение:

x^2 + x^2 - 46x + 529 = 1369 2x^2 - 46x - 840 = 0

Далее решаем квадратное уравнение:

D = (-46)^2 - 42(-840) = 2116 + 6720 = 8836 x1 = (46 + √8836) / 4 = 43 x2 = (46 - √8836) / 4 = -19

Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем x = 43.

Теперь можем найти площадь треугольника, используя формулу S = 0.5 x (x - 23):

S = 0.5 43 (43 - 23) = 0.5 43 20 = 430

Ответ: Площадь треугольника равна 430 квадратных сантиметров.