Ребят срочно y=2+3x-x^3 исследовать функцию с помощью производной и построить график функции плиииз

Для исследования функции y=2+3x-x^3 сначала найдем производную этой функции. Производная функции y=2+3x-x^3 равна y'=3-3x^2.

Теперь найдем точки экстремума, для этого приравняем производную к нулю: 3-3x^2=0. Решив это уравнение, получим x=±1. То есть у нас есть две точки экстремума x=-1 и x=1.

Теперь найдем вторую производную функции. y''=-6x. Подставим точки экстремума во вторую производную: y''(-1)=-6(-1)=6, y''(1)=-61=-6.

Исследуем полученные значения второй производной:

1. При x=-1, y''=6, что означает, что в точке x=-1 функция имеет локальный минимум.
2. При x=1, y''=-6, что означает, что в точке x=1 функция имеет локальный максимум.

Теперь построим график функции y=2+3x-x^3. На графике будут отображены точки экстремума (локальный минимум в точке x=-1 и локальный максимум в точке x=1) и характер изменения функции в зависимости от значения x.

Для исследования функции ( y = 2 + 3x - x^3 ) с помощью производной мы выполним следующие шаги:

1. Находим первую производную, чтобы определить точки экстремума (максимумы и минимумы) и интервалы возрастания и убывания функции.

   [ y' = \frac{d}{dx}(2 + 3x - x^3) = 3 - 3x^2 ]

2. Определяем критические точки путем решения уравнения ( y' = 0 ):

   [ 3 - 3x^2 = 0 ] [ x^2 = 1 ] [ x = \pm 1 ]

3. Исследуем знаки производной для определения интервалов возрастания и убывания:

   • Если ( x \in (-\infty, -1) ) или ( x \in (1, \infty) ), то ( x^2 > 1 ), следовательно, ( y' < 0 ) — функция убывает.
   • Если ( x \in (-1, 1) ), то ( x^2 < 1 ), следовательно, ( y' > 0 ) — функция возрастает.

4. Находим вторую производную для исследования выпуклости и точек перегиба:

   [ y'' = \frac{d}{dx}(3 - 3x^2) = -6x ]

   • Если ( x = 0 ), то ( y'' = 0 ) — возможная точка перегиба.
   • Если ( x < 0 ), то ( y'' > 0 ) — функция выпукла вверх.
   • Если ( x > 0 ), то ( y'' < 0 ) — функция выпукла вниз.

5. Определяем поведение функции на бесконечности:

   Поскольку старший член ( -x^3 ) отрицательный, при ( x \to \infty ), ( y \to -\infty ) и при ( x \to -\infty ), ( y \to \infty ).

6. Точки перегиба: проверяем вторую производную в найденной точке ( x = 0 ):

   Так как знак второй производной меняется при прохождении через ( x = 0 ), точка ( x = 0 ) является точкой перегиба.

7. Вычисляем значения функции в ключевых точках ( x = -1, 0, 1 ):

   [ y(-1) = 2 + 3(-1) - (-1)^3 = 2 - 3 + 1 = 0 ] [ y(0) = 2 + 3\cdot0 - 0^3 = 2 ] [ y(1) = 2 + 3\cdot1 - 1^3 = 2 + 3 - 1 = 4 ]

Построение графика:

• График начинает в ( x \to -\infty ) из ( y \to \infty ), убывает до точки ( x = -1 ), где ( y = 0 ).
• Затем возрастает до точки ( x = 1 ) где достигает максимума ( y = 4 ) и снова убывает в сторону ( x \to \infty ) к ( y \to -\infty ).
• Функция имеет точку перегиба в ( x = 0 ), ( y = 2 ), где кривая меняет выпуклость с вверх на вниз.

Для построения графика можно использовать графический калькулятор или программное обеспечение, например, Desmos или GeoGebra.