Решить уравнение 4cos x= 4 - sin^2 x

Решим уравнение ( 4 \cos x = 4 - \sin^2 x ).

Для начала вспомним тригонометрическую тождество: [ \sin^2 x + \cos^2 x = 1. ]

Из этого тождества выразим (\sin^2 x): [ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x. ]

Подставим это выражение в наше уравнение: [ 4 \cos x = 4 - (1 - \cos^2 x). ]

Упростим выражение в правой части: [ 4 \cos x = 4 - 1 + \cos^2 x, ] [ 4 \cos x = 3 + \cos^2 x. ]

Перенесем все члены в одну сторону уравнения: [ \cos^2 x + 4 \cos x - 3 = 0. ]

Получили квадратное уравнение относительно (\cos x). Обозначим (\cos x) через (t): [ t^2 + 4t - 3 = 0. ]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac, ] где (a = 1), (b = 4), (c = -3):

[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28. ]

Корни квадратного уравнения находятся по формуле: [ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]

Подставим значения: [ t = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}, ] [ t = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2}, ] [ t = -2 \pm \sqrt{7}. ]

Таким образом, мы получили два значения для (t): [ t_1 = -2 + \sqrt{7}, ] [ t_2 = -2 - \sqrt{7}. ]

Поскольку (t = \cos x) и (\cos x) принимает значения только в интервале от -1 до 1, проверим, попадают ли наши корни в этот интервал.

1. Для (t_1 = -2 + \sqrt{7}): [ -2 + \sqrt{7} \approx -2 + 2.645 = 0.645. ] Это значение попадает в допустимый интервал.

2. Для (t_2 = -2 - \sqrt{7}): [ -2 - \sqrt{7} \approx -2 - 2.645 = -4.645. ] Это значение не попадает в интервал от -1 до 1.

Таким образом, остается только одно значение: [ \cos x = -2 + \sqrt{7}. ]

Теперь найдем (x), удовлетворяющее этому значению. Поскольку (\cos x) может принимать значения от -1 до 1, мы можем использовать обратную функцию косинуса ((\arccos)):

[ x = \pm \arccos(-2 + \sqrt{7}) + 2k\pi, ] где (k) — любое целое число, так как косинус имеет период (2\pi).

Итак, общее решение уравнения: [ x = \pm \arccos(-2 + \sqrt{7}) + 2k\pi, ] где (k \in \mathbb{Z}).

Для начала преобразуем уравнение:

4cos x = 4 - sin^2 x 4cos x = 4 - (1 - cos^2 x) (так как sin^2 x = 1 - cos^2 x) 4cos x = 3 + cos^2 x cos^2 x + 4cos x - 3 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

D = (4)^2 - 4 1 (-3) = 16 + 12 = 28

cos x = (-4 ± √28) / 2 = (-4 ± 2√7) / 2 = -2 ± √7

Таким образом, уравнение 4cos x = 4 - sin^2 x имеет два решения: cos x = -2 + √7 и cos x = -2 - √7.

4cos x= 4 - sin^2 x cos x = 1 - sin^2 x cos x = cos^2 x cos x = 0,5