Решите пожалуйста, 2 в степени 3√7-1 ×8в степени 1-√7
Решите пожалуйста, 2 в степени 3√7-1 ×8в степени 1-√7
Рассмотрим выражение, которое нужно упростить и вычислить:
[ 2^{3\sqrt{7} - 1} \times 8^{1 - \sqrt{7}}. ]
Мы знаем, что ( 8 = 2^3 ). Тогда ( 8^{1 - \sqrt{7}} ) можно переписать как: [ 8^{1 - \sqrt{7}} = (2^3)^{1 - \sqrt{7}}. ]
Используем свойство степеней ( (a^m)^n = a^{m \cdot n} ), чтобы преобразовать: [ (2^3)^{1 - \sqrt{7}} = 2^{3(1 - \sqrt{7})}. ]
Теперь выражение становится: [ 2^{3\sqrt{7} - 1} \times 2^{3(1 - \sqrt{7})}. ]
Напомним, что при умножении степеней с одинаковым основанием степени складываются: [ a^m \times a^n = a^{m + n}. ]
Значит, мы можем объединить степени: [ 2^{3\sqrt{7} - 1} \times 2^{3(1 - \sqrt{7})} = 2^{(3\sqrt{7} - 1) + 3(1 - \sqrt{7})}. ]
Распишем показатель степени: [ (3\sqrt{7} - 1) + 3(1 - \sqrt{7}) = 3\sqrt{7} - 1 + 3 - 3\sqrt{7}. ]
Упростим, складывая подобные члены: [ 3\sqrt{7} - 3\sqrt{7} + (-1) + 3 = 2. ]
Показатель степени упростился до ( 2 ). Тогда: [ 2^{3\sqrt{7} - 1} \times 8^{1 - \sqrt{7}} = 2^2. ]
А ( 2^2 = 4 ).
[ \boxed{4}. ]
Чтобы решить выражение ( 2^{3\sqrt{7}-1} \times 8^{1-\sqrt{7}} ), сначала упростим его.
Преобразуем основание 8: Мы знаем, что ( 8 ) можно записать как ( 2^3 ). То есть: [ 8^{1-\sqrt{7}} = (2^3)^{1-\sqrt{7}} = 2^{3(1-\sqrt{7})} ]
Упростим выражение: Теперь можем записать ( 8^{1-\sqrt{7}} ) в виде: [ 8^{1-\sqrt{7}} = 2^{3 - 3\sqrt{7}} ]
Соберем всё вместе: Теперь подставим это обратно в исходное выражение: [ 2^{3\sqrt{7}-1} \times 8^{1-\sqrt{7}} = 2^{3\sqrt{7}-1} \times 2^{3 - 3\sqrt{7}} ]
Сложим показатели: Когда мы умножаем числа с одинаковыми основаниями, мы складываем их показатели: [ 2^{(3\sqrt{7}-1) + (3 - 3\sqrt{7})} ]
Теперь упростим показатель: [ (3\sqrt{7} - 1) + (3 - 3\sqrt{7}) = 3\sqrt{7} - 3\sqrt{7} + 3 - 1 = 2 ]
Запишем окончательный ответ: Таким образом, получаем: [ 2^2 = 4 ]
Итак, окончательный ответ: [ 2^{3\sqrt{7}-1} \times 8^{1-\sqrt{7}} = 4 ]
