решите пожалуйста: 4sin^4x-4sin^2x+1=0
решите пожалуйста: 4sin^4x-4sin^2x+1=0
Давайте рассмотрим уравнение:
[ 4\sin^4(x) - 4\sin^2(x) + 1 = 0 ]
Для удобства введем замену переменной. Пусть ( y = \sin^2(x) ). Тогда уравнение преобразуется следующим образом:
[ 4y^2 - 4y + 1 = 0 ]
Это квадратное уравнение относительно ( y ). Решим его стандартным методом, используя дискриминант.
Дискриминант ( D ) квадратного уравнения ( ay^2 + by + c = 0 ) вычисляется по формуле:
[ D = b^2 - 4ac ]
В нашем случае ( a = 4 ), ( b = -4 ), ( c = 1 ). Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:
[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 ] [ D = 16 - 16 ] [ D = 0 ]
Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень (двукратный корень):
[ y = \frac{-b}{2a} ]
Подставим значения ( a ) и ( b ):
[ y = \frac{-(-4)}{2 \cdot 4} ] [ y = \frac{4}{8} ] [ y = \frac{1}{2} ]
Теперь вернемся к исходной переменной. Напомним, что ( y = \sin^2(x) ):
[ \sin^2(x) = \frac{1}{2} ]
Это уравнение имеет два решения для (\sin(x)):
[ \sin(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ] [ \sin(x) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]
Рассмотрим каждое из этих решений отдельно.
Это значение синуса соответствует углам:
[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ]
Это значение синуса соответствует углам:
[ x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi ]
Обобщим все решения:
[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi ] [ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ] [ x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi ] [ x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi ]
где ( k ) — любое целое число.
Таким образом, решения уравнения ( 4\sin^4(x) - 4\sin^2(x) + 1 = 0 ) следующие:
[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi, ]
где ( k ) — любое целое число.
Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться заменой переменной. Обозначим sin^2x за t. Тогда уравнение примет вид:
4t^2 - 4t + 1 = 0
Далее решаем квадратное уравнение относительно t. Находим дискриминант:
D = (-4)^2 - 441 = 16 - 16 = 0
Дискриминант равен нулю, следовательно уравнение имеет один корень. Находим корень:
t = -(-4) / 2*4 = 1
Таким образом, sin^2x = 1. Отсюда следует, что sinx = ±1. Поскольку sinx изменяется от -1 до 1, то sinx = 1. Таким образом, x = π/2 + 2πn, где n - целое число.
